Teorema da Bissetriz (Lei dos senos)

por Gabriel Gustavo Ter 17 Maio 2016, 12:39

Venho, ao criar esse tópico, compartilhar a demonstração do teorema da bissetriz tanto interna quanto externa utilizando a lei dos senos. Segue a explicação abaixo:

Bissetriz Interna

Teorema da Bissetriz (Lei dos senos) 243fgvl

Teorema da Bissetriz (Lei dos senos) 243fgvl

O triângulo ABC é um escaleno e o segmento (BD) apresenta bissetriz do ângulo.

Utilizando a lei dos senos:

$A\widehat{D}B+B\widehat{D}C=180^{\circ}\therefore sen(A\widehat{D}B)=sen(B\widehat{D}C)$

$sen(A\widehat{D}B)=\frac{\overline{AB}*sen\alpha }{\overline{AD}}$

$sen(B\widehat{D}C)=\frac{\overline{BC}*sen\alpha }{\overline{CD}}$

$\frac{\overline{AB}*sen\alpha }{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}*sen\alpha }{\overline{CD}}\Rightarrow \frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}*sen\alpha }{\overline{CD}*sen\alpha }\Rightarrow \frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC} }{\overline{CD}}$

Bissetriz Externa

Teorema da Bissetriz (Lei dos senos) 70f7zb

Teorema da Bissetriz (Lei dos senos) 70f7zb

$sen(A\widehat{B}C+\alpha)=sen(C\widehat{B}E)=sen\alpha$

Para o triângulo $\triangle EAB$ :

$\frac{\overline{AB}}{sen(B\widehat{E}A)}=\frac{\overline{EA}}{sen\alpha }$

Para o triângulo $\triangle ECB$ :

$\frac{\overline{CB}}{sen(B\widehat{E}A)}=\frac{\overline{CE}}{sen(C\widehat{B}E) }$

Portanto:

$sen(B\widehat{E}A)=\frac{\overline{AB}*sen\alpha }{\overline{EA}}=\frac{\overline{BC}*sen(C\widehat{B}E) }{\overline{CE}}\Rightarrow\frac{\overline{BC}}{\overline{CE}}=\frac{sen\alpha*\overline{AB}}{sen(C\widehat{B}E)*\overline{AE}}=\frac{sen\alpha*\overline{AB}}{sen\alpha *\overline{AE}}$

$\frac{\overline{BC}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AE}}$

Qual(is)quer pergunta, sugestão e/ou correção, favor postar esses(as) abaixo como mensagem. Obrigado.

Teorema da Bissetriz (Lei dos senos)

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