Limpador de parabrisa

por EsdrasCFOPM Sex 06 maio 2016, 21:52

Com relação à figura apresentada,
• o segmento OP representa a haste à qual é fixada a lâmina de
borracha PQ, do limpador de parabrisa do vidro traseiro de um
automóvel, segundo um ângulo constante α = 150º;

• a região sombreada representa a área A, varrida por PQ quando
OP faz uma rotação em torno do centro O, de um ângulo β, no
sentido anti-horário;

Sendo OP = PQ =x e β = 60º, pode-se afirmar que uma expressão válida para A, em
u.a., é

01) πx². {(1+√3)/6} (Gabarito)

02) π/6 . (x²+√6)

03) π/3 . (x²+√2)

04) πx²/3 . {(1+√6)/3}

05) π/4 . (x²+√2x)

por **Elcioschin** Sáb 07 maio 2016, 00:09

Trace OQ = y
Seja P' a extremidade do arcos PP'
Prolongue arco maior para a esquerda
Prolongue OP' e seja Q' o ponto de encontro dos dois proongamentos
Trace OQ' e seja M o ponto de encontro de OQ' com o arco PP'

Triângulo POQ é isósceles (OP = PQ) ---> O^PQ = O^QP = 15º

Triângulo P'OQ' ≡ Triângulo POQ ---> OP' = P'Q' = x ---> O^P'Q' = OQ'P' = 15º

Calcule y² ---> y² = x² + x² - 2.x².cos150º

PÔQ' = 45º

Agora é só calcular:

Área do setor OQQ' , do setor OÔP' , do stor OMP', e, por diferenças, calcular a área procurada

por EsdrasCFOPM Sáb 07 maio 2016, 07:51

Obrigado!

por EsdrasCFOPM Ter 20 Set 2016, 17:37

Metre, tentei fazer essa questão hoje e, mesmo depois de ter revisado alguns assuntos, não consegui desenvolvê-la.

Só consegui desvendar a área do arco como um todo(pelo menos acho que sim):

y² = x² + x² - 2.x².cos150º
y² = 2x²- 2.x².(-cos30º)
y² = 2x²+2.x².(√3/2)
y=√(2+√3)x

O 'y' representa o raio de uma circunferência.

π(2+√3)x² -->360º
z ---> 75º

z=5[π(2+√3)x²]/24

Travei aqui pale

por **Elcioschin** Ter 20 Set 2016, 22:11

y = √(2 + √3).x ---> Temos um radical duplo: √(2 + √3) = (√6 + √2)/2

Áreas:

S(OPP') = pi.x²/6 (setor de 60º)
S(OPM) = pi.x²/8 (setor de 45º)
S(OMP') = pi.x²/6 - pi.x²/8 = pi.x²/24 (setor de 15º)

S(POQ) = y.x.sen15º/2 ---> Calcule

S(P'OQ') = S(POQ)

S(P'Q'M) = S(P'OQ') - S(OMP') ---> Calcule

MÔQ = MÔP + PÔQ ---> MÔQ = 45º + 15º ---> MÔQ = 60º

S(OQQ') = pi.y²/6 ---> Calcule

Área sombreada: S = S(OQQ') - S(POQ) - S(OPM) + S(P'Q'M)

por EsdrasCFOPM Ter 20 Set 2016, 23:26

Que questão longa e trabalhosa!!!

S(POQ) = y.x.sen15º/2
S(POQ) =[(√6-√2)x.y]/8

S(P'OQ') = S(POQ)
S(P'Q'M) = [(√6-√2)x.y]/8 - πx²/24

y²=(2+√3)x²

S(OQQ') = π.y²/6
S(OQQ') = (2+√3)πx²/6

Área sombreada: S = S(OQQ') - S(POQ) - S(OPM) + S(P'Q'M)

S=(2+√3)πx²/6 - [(√6-√2)x.y]/8 -πx²/8 +[(√6-√2)x.y]/8 - πx²/24
S=(2+√3)πx²/6-πx²/8-πx²/24
S=[πx²(1+√3)]/6

Obrigado pela ajuda Elcio!