Geometria plana e Números complexos

Os objetos localizados por um radar aparecem em sua tela como pontos pertencentes a círculos concêntricos espaçados regularmente de r quilômetros, sendo r o raio do menor círculo, como na figura. Identificando os pontos M e N com os afixos de dois números complexos cujos argumentos principais são, respectivamente, iguais π/6 a 2π/3 e , e o ponto O com a origem do sistema de coordenadas, pode-se afirmar que o centro da circunferência circunscrita ao triângulo OMN é afixo de um número complexo de módulo m e argumento principal θ, respectivamente, iguais a

01) 8r e arccos (4√3-3)/2
02) 7r e arcsen (3√3+3)/10
03) 7r e arccos (4√3-3)/10
04) 5r e arcsen (3√3+3)/2
05) 5r e arccos (4√3-3)/10 (Gabarito)

Obs.: Parei achando N= 3r(-1+i√3) e M=4r(√3+i) e não consegui desenvolver. =/

Note que o ângulo MON é 2π/3 - π/6 = π/2. Logo, OMN é retângulo em O e hipotenusa 10r.
(8r)(6r)/2 = (8r)(6r)(10r)/(4m) ----> m = 5r.

E o centro é ponto médio da hipotenusa, pois essa é diâmetro.

C = (M + N)/2 = r(4√3 - 3)/2 + ir(4 + 3√3)/2

cosθ = [(4√3 - 3)/2]/√[(3√3 + 4)²/4 + (4√3 - 3)²/4] = (4√3 - 3)/10.

Quais fórmulas foram utilizadas para achar esses valores?

(8r)(6r)/2 = (8r)(6r)(10r)/(4m) ----> m = 5r.

e

cosθ = [(4√3 - 3)/2]/√[(3√3 + 4)²/4 + (4√3 - 3)²/4] = (4√3 - 3)/10.

bh/2 = abc/(4R)

cosθ = Re(z)/|z|

Obrigado!