Raízes Complexas

por Matemathiago Qui 28 Abr 2016, 20:09

Considere as raízes (complexas) da equação z^3 = (Conjugado de z)^3

Qual a soma dessas raízes?

a) 1 + i(Raiz de 3)
b) -1 + i(Raiz de 3)
c) [1 + i(Raiz de 3)]/2
d) i(Raiz de 3)
e) [-1 + i(Raiz de 3)]/2

por **Ashitaka** Sex 29 Abr 2016, 11:43

z³ = z'³

Seja z = (x + yi)

(x+yi)³ = (x-yi)³
6x²y = 2y³ ----> y = 0 ou
y = +-x√3

Logo, y = 0 mostra que qualquer z real é solução. Só aqui já há, portanto, infinitas.
y = +-x√3 mostra que qualquer z da forma z = x(1 +-i√3) com x real é solução. Aqui também há outras infinitas soluções.

Logo, o problema não faz sentido.

por Matemathiago Sex 29 Abr 2016, 17:22

Desculpa! Faltou uma parte do enunciado!!

Deve se considerar as raizes complexas com partes imaginárias positivas!!

Obrigado por fazer essa observação!

por **Ashitaka** Sex 29 Abr 2016, 18:31

Neste caso seria z = x(1 + i√3), x > 0 ou z = x(1 - i√3), x < 0. Continuaria havendo infinitas soluções.

por Matemathiago Sex 29 Abr 2016, 20:02

(a + bi)^3 = (a - bi)^3

(a + bi) ( a² + 2abi - b²) = (a - bi) (a² - 2abi - b²)

a³ + 2a²bi - ab² + a²bi - 2ab² - b³i = a³ - 2a²bi - ab² - a²bi - 2ab² + b³i

3a²bi = - 3a²bi + 2b³i

6a²bi - 2b³i = 0

3a²bi - b³i = 0

a = b/(raiz de 3)

[(b/(raiz de 3) + bi]³ = [(b/(raiz de 3) - bi]³

b³(Raiz de 3)/ 9 + 2b²i/(raiz de 3) -b³i = b³(Raiz de 3)/ 9 - 2b²i/(raiz de 3) + b³i

2b³i = 4b²i/(raiz de 3)

2(Raiz de 3)b³i = 4b²i

2(Raiz de 3)bi = 4i

2(Raiz de 3)b = 4

(Raiz de 3)b = 2

b = 2(Raiz de 3)/3

Então a raiz é

z = 2/3 + 2(Raiz de 3)i/3

z = [1 + (Raiz de 3)i]/6

Em que eu errei?

por **Ashitaka** Sex 29 Abr 2016, 20:28

Teve vários erros de conta a partir do momento que elevou ao cubo após substituir o a. Além disso, desprezou uma solução no caminho (a = -b/√3).
Mas mesmo que tivesse desenvolvido corretamente, chegaria em algo do tipo 1 = 1...

por **Elcioschin** Sex 29 Abr 2016, 21:33

A partir da 6ª linha

3.a².b.i - b³.i = 0 ---> : b.i

3.a² - b² = 0 ---> b² = 3.a² ---> b = ± √3.i ---> Você esqueceu ±

Esta é exatamente a solução do colega Ashitaka

A partir dai você somente complicou; eu nem conferi.

por Matemathiago Sex 29 Abr 2016, 21:45

(a + bi)^3 = (a - bi)^3

(a + bi) ( a² + 2abi - b²) = (a - bi) (a² - 2abi - b²)

a³ + 2a²bi - ab² + a²bi - 2ab² - b³i = a³ - 2a²bi - ab² - a²bi - 2ab² + b³i

3a²bi = - 3a²bi + 2b³i

6a²bi - 2b³i = 0

3a²bi - b³i = 0

a = b/(raiz de 3) ou a = -b/ (raiz de 3)

Quando a = b/(raiz de 3):

[(b/(raiz de 3) + bi]³ = [(b/(raiz de 3) - bi]³

[b²(Raiz de 3)/ 9 + 2b²i/(raiz de 3) -b²] . [(b/(raiz de 3) + bi] = [b²(Raiz de 3)/ 9 - 2b²i/(raiz de 3) - b²]. [(b/(raiz de 3) - bi]

b³/9 + b³(raiz de 3)i/9 + 2b³i/3 - 2b³/(raiz de 3) - b³/(raiz de 3) - b³i = b³/9 - b³(raiz de 3)i/9 - 2b³i/3 - 2b³/(raiz de 3) - b³/(raiz de 3) + b³i

Enfim.. Acho que chegaria a 2b³ = 2b³, 1=1 mesmo kkkk

Obrigado pela ajuda!

Depois vou ver com algum professor a procedência dessa questão!