Teorema do Copo Furado
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Teorema do Copo Furado
Olá meus gênios, fiz aqui uma prova de como podemos calcular o alcance de um jato de líquido jogado pela pressão hidrostática de um copo furado. Vamos à figura:
Esclarecendo as variáveis da ilustração:
Sabemos que a pressão no buraco será expressa pela seguinte equação:
P = d.g.h1
E a força aplicada sobre o líquido:
F = P.Ab
Logo, o trabalho realizado pela pressão em todo o trecho do buraco será:
W = F.x
W = P.Ab.x
W = d.g.h1.(v)*
W = (m/v).g.h1.v
W = m.g.h1
*podemos sintetizar Ab.x por v pois este é o volume do prisma formado no buraco
Através da conservação de energia, podemos afirmar que o ponto A, quando o líquido sai do buraco, e o ponto B, quando esse chega à superfície de apoio, possuem a mesma energia mecânica.
Em(a) = Em(b)
A energia mecânica em A é composta pela energia potencial gravitacional em relação à superfície e o trabalho do líquido.
Em(a) = Epg(a) + W
E a energia mecânica em B é expressa somente pela energia cinética.
Em(b) = Ec(b)
Igualando ambas as equações:
Epg(a) + W = Ec(b)
m.g.h2 + m.g.h1 = m.v².(1/2) <== podemos cortar a massa do líquido
g.h2 + g.h1 = v².(1/2) <== colocamos o g em evidência e passamos o 2 para o outro lado, multiplicando
2.g.(h1+h2) = v²
v = sqrt[2.g.(h1+h2)]
Logo... se h1 + h2 é a distância entre a superfície do líquido e a superfície de apoio, vamos chamar isso de H
v = sqrt(2gH)
Acabou aqui a Mecânica e vamos para a parte da Cinética:
Vx = sqrt(2gH)
Vy(inicial) = 0
Como abemos, no MU, a distância é dada por:
∆S = V.t <== adequando as variáveis ao nosso sistema...
y = sqrt(2.g.H).t <== elevamos tudo ao quadrado
y² = 2.g.H.t²
Já no MUV, podemos calcular assim a nossa segunda equação:
∆S = V(inicial).t + a.t².(1/2) <== A velocidade inicial é zero e ∆S se chamará de h2, como a figura sugeste
h2 = g.t².(1/2) <== isolamos o t²
t² = (2.h2)/g
Aplicando essa fórmula na outra:
y² = 2.g.H.(2.h2)/g <== cortamos g
y² = 4.H.h2
y = 2.sqrt(H.h2)
Para ficar mais fácil de decorar:
A = alcance
H = altura grande (topo do líquido até a superfície de apoio)
h = altura pequena (do buraco até a superfície de apoio)
Esclarecendo as variáveis da ilustração:
- g = aceleração da gravidade
- Ab = área da base do buraco
- x = distância entre o começo e o fim do buraco
- y = alcance do jato
- v = volume do líquido no interior do buraco
- m = massa do líquido no interior do buraco
- d = densidade do líquido
- h1 = altura do buraco ao topo do líquido
- h2 = altura do buraco à superfície de apoio
Sabemos que a pressão no buraco será expressa pela seguinte equação:
P = d.g.h1
E a força aplicada sobre o líquido:
F = P.Ab
Logo, o trabalho realizado pela pressão em todo o trecho do buraco será:
W = F.x
W = P.Ab.x
W = d.g.h1.(v)*
W = (m/v).g.h1.v
W = m.g.h1
*podemos sintetizar Ab.x por v pois este é o volume do prisma formado no buraco
Através da conservação de energia, podemos afirmar que o ponto A, quando o líquido sai do buraco, e o ponto B, quando esse chega à superfície de apoio, possuem a mesma energia mecânica.
Em(a) = Em(b)
A energia mecânica em A é composta pela energia potencial gravitacional em relação à superfície e o trabalho do líquido.
Em(a) = Epg(a) + W
E a energia mecânica em B é expressa somente pela energia cinética.
Em(b) = Ec(b)
Igualando ambas as equações:
Epg(a) + W = Ec(b)
m.g.h2 + m.g.h1 = m.v².(1/2) <== podemos cortar a massa do líquido
g.h2 + g.h1 = v².(1/2) <== colocamos o g em evidência e passamos o 2 para o outro lado, multiplicando
2.g.(h1+h2) = v²
v = sqrt[2.g.(h1+h2)]
Logo... se h1 + h2 é a distância entre a superfície do líquido e a superfície de apoio, vamos chamar isso de H
v = sqrt(2gH)
Acabou aqui a Mecânica e vamos para a parte da Cinética:
Vx = sqrt(2gH)
Vy(inicial) = 0
Como abemos, no MU, a distância é dada por:
∆S = V.t <== adequando as variáveis ao nosso sistema...
y = sqrt(2.g.H).t <== elevamos tudo ao quadrado
y² = 2.g.H.t²
Já no MUV, podemos calcular assim a nossa segunda equação:
∆S = V(inicial).t + a.t².(1/2) <== A velocidade inicial é zero e ∆S se chamará de h2, como a figura sugeste
h2 = g.t².(1/2) <== isolamos o t²
t² = (2.h2)/g
Aplicando essa fórmula na outra:
y² = 2.g.H.(2.h2)/g <== cortamos g
y² = 4.H.h2
y = 2.sqrt(H.h2)
Para ficar mais fácil de decorar:
A = alcance
H = altura grande (topo do líquido até a superfície de apoio)
h = altura pequena (do buraco até a superfície de apoio)
GuilhermeDantas- Iniciante
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