Teorema do Copo Furado

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Teorema do Copo Furado

Mensagem por GuilhermeDantas em Qui Abr 21 2016, 00:20

Olá meus gênios, fiz aqui uma prova de como podemos calcular o alcance de um jato de líquido jogado pela pressão hidrostática de um copo furado. Vamos à figura:

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Esclarecendo as variáveis da ilustração:

  • g = aceleração da gravidade
  • Ab = área da base do buraco
  • x = distância entre o começo e o fim do buraco
  • y = alcance do jato
  • v = volume do líquido no interior do buraco
  • m = massa do líquido no interior do buraco
  • d = densidade do líquido
  • h1 = altura do buraco ao topo do líquido
  • h2 = altura do buraco à superfície de apoio


Sabemos que a pressão no buraco será expressa pela seguinte equação:
P = d.g.h1

E a força aplicada sobre o líquido:
F = P.Ab

Logo, o trabalho realizado pela pressão em todo o trecho do buraco será:
W = F.x
W = P.Ab.x
W = d.g.h1.(v)*
W = (m/v).g.h1.v
W = m.g.h1

*podemos sintetizar Ab.x por v pois este é o volume do prisma formado no buraco

Através da conservação de energia, podemos afirmar que o ponto A, quando o líquido sai do buraco, e o ponto B, quando esse chega à superfície de apoio, possuem a mesma energia mecânica.
Em(a) = Em(b)

A energia mecânica em A é composta pela energia potencial gravitacional em relação à superfície e o trabalho do líquido.
Em(a) = Epg(a) + W

E a energia mecânica em B é expressa somente pela energia cinética.
Em(b) = Ec(b)

Igualando ambas as equações:
Epg(a) + W = Ec(b)
m.g.h2 + m.g.h1 = m.v².(1/2)                <== podemos cortar a massa do líquido
g.h2 + g.h1 = v².(1/2)                           <== colocamos o g em evidência e passamos o 2 para o outro lado, multiplicando
2.g.(h1+h2) = v²
v = sqrt[2.g.(h1+h2)]

Logo... se h1 + h2 é a distância entre a superfície do líquido e a superfície de apoio, vamos chamar isso de H

v = sqrt(2gH)

Acabou aqui a Mecânica e vamos para a parte da Cinética:

Vx = sqrt(2gH)
Vy(inicial) = 0

Como abemos, no MU, a distância é dada por:
∆S = V.t                    <== adequando as variáveis ao nosso sistema...
y = sqrt(2.g.H).t           <== elevamos tudo ao quadrado
y² = 2.g.H.t²

Já no MUV, podemos calcular assim a nossa segunda equação:
∆S = V(inicial).t + a.t².(1/2)            <== A velocidade inicial é zero e ∆S se chamará de h2, como a figura sugeste
h2 = g.t².(1/2)                            <== isolamos o t²
t² = (2.h2)/g

Aplicando essa fórmula na outra:

y² = 2.g.H.(2.h2)/g        <== cortamos g
y² = 4.H.h2
y = 2.sqrt(H.h2)

Para ficar mais fácil de decorar:

A = alcance
H = altura grande (topo do líquido até a superfície de apoio)
h = altura pequena (do buraco até a superfície de apoio)

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GuilhermeDantas
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