Encontrar Base de um Logaritmo

por Lucas Guedes Ter 19 Abr 2016, 15:22

$O\ logaritmo\ de\ um\ certo\ n\acute{u}mero\ numa\ dada\ base\ \acute{e}\ 3.\ A\ ter\c{c}a\ parte\ desse\ logaritmo,\ a\ base\ e\ o\ n\acute{u}mero\ formam,\\nessa\ ordem,\ uma\ PA.\ Qual\ \acute{e}\ a\ base\ do\ logaritmo?\\ \\ O\ que\ fiz\ foi\ o\ seguinte:\\ \\ \log_a{b}=3 \Leftrightarrow a^3=b\\ \left ({3 \over 3};a;b\right)\ \acute{e}\ PA\Leftrightarrow (1;a;b)\ \acute{e}\ PA \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow 2a=1+b\Leftrightarrow 2a=1+a^3\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow a^3-2a+1=0\\ Aqui\ n\tilde{a}o\ fa\c{c}o\ ideia\ de\ como\ solucionar\ essa\ equa\c{c}\tilde{a}o\ \bold{sem}\ utilizar\ polin\hat{o}mios\ ou\ n\acute{u}meros\ complexos.$

Resposta:

por **Christian M. Martins** Ter 19 Abr 2016, 15:41

Pelo Teorema das Raízes Racionais descobre-se que 1 é raíz; aplicando Divisão pelo Método das Chaves fica-se com:

(a - 1)(a² + a -1)

Resolvendo a equação de segundo grau descobre-se as duas outras raízes:

(-1/2) - sqrt(5)/2
(sqrt(5)/2) - 1/2

Como deve-se ter a > 0 ∩ a ≠ 1, a = (sqrt(5)/2) - 1/2

a = (sqrt(5)/2) - 1/2 = (sqrt(5) - 1)/2