Função do 2° grau.

por BRUNO BRITO Seg 04 Abr 2016, 19:16

(UEMA) O gráfico da função f(x)=mx²-(m²-3)*x+m³ intercepta o eixo (x) em apenas um ponto e tem concavidade voltada para baixo. O valor de (m) é:

Gabarito: m=-1

por Convidado Seg 04 Abr 2016, 19:37

Como o gráfico de f(x) intercepta o eixo x em apenas um ponto e tem concavidade voltada para baixa, logo o discriminante vale zero e o valor de m deve ser negativo.

$f(x)=mx^{2}-(m^{2}-3)x+m^{3}$

$\Delta =(-m^{2}+3)^{2}-4.m.m^{3}=0$

$3m^{4}+6m^{2}-9=0$

Fazendo m²=y, com a condição de que y deve ser maior que zero (y>0), vem:

$3y^{2}+6y-9=0$

Achamos duas raízes, y1=-3 e y2=1, no entanto y1 não vale com raiz por ser negativo, apenas y2, logo:

$m^{2}=1\therefore \left\{\begin{matrix} m1=1 & \\ m2=-1 & \end{matrix}\right.$

Como o gráfico de f(X) tem concavidade para baixo, logo dentre as raízes acima, m deve ser igual a -1.

por BRUNO BRITO Seg 04 Abr 2016, 19:45

Muitíssimo obrigado! Smile

por **Elcioschin** Seg 04 Abr 2016, 19:52

Fiquei com uma dúvida:

No enunciado parece - (m² - 3)*x

E o colega Lucasmed escreveu - (m² + 3)x

Qual é o correto, afinal?

por BRUNO BRITO Seg 04 Abr 2016, 19:59

Verdade. Esse é o correto - (m² - 3)*x

por Convidado Seg 04 Abr 2016, 20:27

Eu errei ao passar do meu rascunho para o editor do Latex. O correto é mesmo o -(m²-3)x. Perdão a todos!

por **Christian M. Martins** Seg 04 Abr 2016, 20:28

$\\f(x) = mx^{2} - x(m^{2} - 3) + m^{3}\\ \\ \Delta = (3 - m^{2})^{2} -4.m.m^{3} = 0\\ \\ 9 - 6m^{2} + m^{4} - 4m^{4} = 0 \rightarrow -3m^{4} - 6m^{2} + 9 = 0$

Aplicando o teorema das raízes racionais tem-se que as únicas possíveis são -1 e 1. Como a parábola deve ter concavidade para baixo, m = 1 não é válido. Resta m = -1.