Teorema de Carnot

por Phantom Sab 19 Mar 2016, 16:42

$\begin{align*} \text{Teorema de Carnot:} \\ \\ \text{Sejam D, E e F pontos nos lados} \,\,\overline{BC},\, \overline{AC} \,\, e\, \overline{AB},\,\text{respectivamente, de um}\, \triangle ABC \\ \text{As perpendiculares a esses lados em D,E e F devem concorrer em um ponto P} \\ \Leftrightarrow \overline{AF}^2 + \overline{BD}^2 + \overline{CE}^2 = \overline{BF}^2 + \overline{CD}^2 + \overline{AE}^2 \\ \\ \text{Prova:} \\ \\ \end{align*}$

$\text{Primeira parte:} \\ \\ \text{Dado o perpendicularismo das retas baixadas de P aos lados do}\,\, \triangle ABC \\ \text{aplicamos sucessivamente o Teorema de Pitagoras nos triangulos formados na figura:} \\ AF^{2} + FP^{2} &= AP^{2}\\ BF^{2} + FP^{2} &= BP^{2}\\ BD^{2} + DP^{2} &= BP^{2}\\ CD^{2} + DP^{2} &= CP^{2}\\ CE^{2} + EP^{2} &= CP^{2}\\ AE^{2} + EP^{2} &= AP^{2}. \\ \text{Somando o primeiro, terceiro e quinto resultados e subtraindo o segundo, quarto e sexto resultados, temos o resultado buscado: } \\ AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} = BF^{2} + CD^{2} + AE^{2}.$

$\begin{align*} \text{Segunda parte: Reciproca} \end{align*}$

Para a recíproca, assumimos que

AF² + BD² + CE² = BF² + CD² + AE² (*) e que P seja o ponto de interseção entre PD e PE.

Traçamos PG, perpendicular a AB.

Pela parte já demonstrada: AG² + BD² + CE² = BG² + CD² + AE²

<--> AG² - BG² = CD² + AE² - BD² - CE² (i)

Desenvolvendo (*): AF² - BF² = CD² + AE² - BD² - CE² (ii)

De (i) e (ii): AG² - BG² = AF² - BF² (iii)

Seja BG = x, AB = k --> AG = k - x

Em (iii): AG² - BG² = (k-x)² - x² = k² - 2kx = -2kx + k² = f(x), que é uma função linear em relação a x.

Como f(x) não pode ter o mesmo valor para dois valores diferentes de x, isso implica que G = F e, portanto,

se AF² + BD² + CE² = BF² + CD² + AE² e duas perpendiculares aos lados se cruzam em P, então todas as perpendiculares aos pontos D,E e F do triângulo concorrerão em um ponto P.

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