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Teorema de Carnot

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Teorema de Carnot Empty Teorema de Carnot

Mensagem por Phantom Sab 19 Mar 2016, 16:42


Teorema de Carnot 2lieqma


Teorema de Carnot I5untl


Para a recíproca, assumimos que 
AF² + BD² + CE² = BF² + CD² + AE² (*) e que P seja o ponto de interseção entre PD e PE.
Traçamos PG, perpendicular a AB.
Pela parte já demonstrada: AG² + BD² + CE² = BG² + CD² + AE²
<--> AG² - BG² = CD² + AE² - BD² - CE² (i)
Desenvolvendo (*): AF² - BF² = CD² + AE² - BD² - CE² (ii)
De (i) e (ii): AG² - BG² = AF² - BF² (iii)
Seja BG = x, AB = k --> AG = k - x
Em (iii): AG² - BG² = (k-x)² - x² = k² - 2kx = -2kx + k² = f(x), que é uma função linear em relação a x.
Como f(x) não pode ter o mesmo valor para dois valores diferentes de x, isso implica que G = F e, portanto, 
se AF² + BD² + CE² = BF² + CD² + AE² e duas perpendiculares aos lados se cruzam em P, então todas as perpendiculares aos pontos D,E e F do triângulo concorrerão em um ponto P.
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