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Teorema de Viviani

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Teorema de Viviani Empty Teorema de Viviani

Mensagem por Phantom Sab 19 Mar 2016, 16:40

Notação: P é um ponto qualquer no interior de um triângulo equilátero ABC, de lado l, e PF = hx, PE = hy, PD = hz são perpendiculares traçadas desde P até os lados AB, AC e BC, respectivamente.


Teorema de Viviani 2mzw3h0
Teorema de Viviani 15cngip




O Teorema de Viviani também admite recíproca.


Notação:
PD = d1, PE = d2, PF = d3, u1 o vetor unitário sobre PD, u2 o vetor unitário sobre PE, u3 o vetor unitário sobre PF
P'D' = d1', P'E' = d2', P'F' = d3', w o vetor PP' e teta o ângulo entre PP' e PD


Teorema de Viviani 289dlqa




Teorema de Viviani A4jo


Teorema de Viviani 2lxfj9k
Teorema de Viviani 14l7gg8
Para encerrar (minha contribuição, mas não as inúmeras propriedades decorrentes desse teorema), o Teorema de Viviani também admite uma interessante generalização.








Seja P um ponto variável no interior de um polígono equiângulo. A soma das distâncias de P aos lados do polígono não depende da escolha desse ponto e e é a invariante deste polígono.
Para polígonos regulares, a demonstração é simples e intuitiva:
Teorema de Viviani 157j7s8
(Na figura, usei um hexágono por simplicidade e falta de um software que esboçasse um n-ágono, mas é evidente que o procedimento é válido para um polígono regular qualquer)
Seja a o lado do polígono regular de n lados e di a distância de P até o i-ésimo lado do polígono.
Como cada distância é perpendicular a um lado do polígono (as distâncias são os segmentos de reta rosas), então, sendo o próprio lado do polígono a base, cada um dos triângulos verdes determina uma área que é uma fração da área total do polígono (S) e que está em função do lado do polígono (base do triângulo verde) e da altura (que é a distância de P ao lado do polígono em cada triângulo em questão).
Logo, somando as áreas de todos os triângulos verdes formados, temos a área do polígono.


Se o polígono for um equiângulo qualquer, podemos sempre 'expandi-lo' em um polígono regular (ou inseri-lo em um polígono regular, se você achar mais fácil de entender), como no esboço a seguir. (Novamente, usei um polígono com um número pequeno de lados por simplificação).
Podemos expandi-lo em diferentes polígonos regulares, mas devemos escolher aquele em que a distância entre os lados paralelos é constante.


Teorema de Viviani 2zhjq4p


No esboço, usa-se a seguinte notação: PH1 = d1, PH2 = d2, PH3 = d3, PH4 = d4, PH5 = d5, GH4 = m, JH5 = n
O polígono menor (''inserido'' no maior) é equiângulo. Construímos o polígono maior, "extensão" do polígono menor, de forma que ele seja equilátero e que a distância entre os lados paralelos seja constante.
Como já provamos que 




e escolhemos um polígono regular ("extensão" do polígono equiângulo) cuja distância aos lados paralelos é constante, então a subtração de m e n mantém constante a soma, provando o resultado para polígonos equiângulos.
A recíproca do Teorema de Viviani Generalizado, entretanto, não é válida para polígonos regulares de lado maior do que 3.



Referências:
Mathematical Association of America: Chen, Zhibo; Liang, Tian (2006). "The converse of Viviani's theorem"
Titu Andreescu, B. Enescu. Mathematical Olympiad Treasures. Birkhäuser, 2004.


Obs: o CodeCogs 'bugava' e dizia que a equação estava muito longa; por isso, coloquei as imagens e algumas delas saíram desalinhadas e de tamanhos diferentes.
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