Calcule o valor da expressão:

[a/(a-b)(a-c)] + [b/(b-c)(b-a)] + [c/(c-a)(c-b)]


...

Gabarito:
Zero.

Obrigado!

Uma maneira de verificar uma resposta rápida(se a questão for de alternativas) é você atribuir valores.
Devemos lembrar que denominador não pode ser nulo, e então escolhemos:
a=0, b=1, c=2 e jogamos na expressão:

Agora, se queremos algo mais geral, então devemos expandir:

Questão fácil e já caiu em algum vestibular que não me lembro.


[a/(a-b)(a-c)] + [b/(b-c)(b-a)] + [c/(c-a)(c-b)], a primeira ideia que temos é tirar o MMC.

Então ficaria a+b+c/(a-b)(a-c)*(b-c)(b-a)(c-a)(c-b). Porém, vamos agora manipular essa fração , trocando (b-c)•(b-a) por (b-c)•(a-b), e invertendo o sinal do denominador, algo que não alterará o resultado; (c-a)•(c-b) por (a-c)•(b-c), não invertendo o sinal, pois inverti os dois números das duas multiplicações, o que me acarreta um denominador positivo  Ficará:

           a                       b                       c
______________ + ______________ + ______________  para 
(a - b)•(a - c)         (b - c)•(b - a)       (c - a)•(c- b)    


           a                       b                       c
______________ - ______________ + ______________ 
(a - b)•(a - c)         (b - c)•(a - b)       (a - c)•(b- c)  


Tiramos o minimo que é (a - b)•(a - c)•(b - c), e notaremos que ficará a•(b - c) - b•(a - c)+ c•(a - b) = ab - ac + -ba +bc +ca -cb= 0

Se não entendeu, estaremos aqui!

Obrigado pela dica Carlos, muito útil em testes!

Nagato, eu tentei usar Fatoração de cubos, etc... imagina o tamanho que ficou a conta...
Muito interessante de inverter o sinal do denominador sem alterar a fração (invertendo o sinal do numerador)... Primeira vez que vejo esse trabalho algébrico.
Entendi perfeitamente, Obrigado!