Combinação Linear-ITA

por Menin Qua 24 Fev 2016, 07:58

Na figura abaixo, considere |→AB | = 3, |→AD | = 4 e |→AC | = 2. Escreva o vetor →AD como combinação linear de →AB e →AC .
Combinação Linear-ITA 3590dn9

por **Carlos Adir** Qua 24 Fev 2016, 09:36

Temos que se A=(0, 0), e B=(3, 0), então teremos D=4*(cos 30º, sen 30º), C=2*(cos 45º, sen 45º)
$\\ \vec{\mathrm{AD}}=\mathrm{a} \cdot \vec{\mathrm{AB}}+\mathrm{b} \cdot \vec{\mathrm{AC}} \\ \mathrm{\left(2\sqrt{3}, \ 2 \right )=a \cdot \left(3, \ 0 \right )+b \cdot \left(\sqrt{2}, \ \sqrt{2} \right )} \\ \begin{cases}\mathrm{2\sqrt{3}=a \cdot 3 + b \cdot \sqrt{2}} \\ \mathrm{2 = a \cdot 0 + b \sqrt{2}} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\mathrm{a=\dfrac{2\sqrt{3}-2}{3}}\\ \mathrm{b=\sqrt{2}} \end{cases}$
Sabendo então os coeficientes, podemos reescrever AD:
$\vec{\mathrm{AD}}=\dfrac{2\left(\sqrt{3}-1 \right )}{3} \cdot \vec{\mathrm{AB}}+\sqrt{2} \cdot \vec{\mathrm{AC}}$

Porque "Combinação Linear-ITA" por acaso é questão do ITA ou do vestibular de lá?

Houve um erro, já corrigido.

por marciatrajano Dom 06 Mar 2016, 11:42

Bom dia .Qumando vc fez o sistema vc colocou: a x raíz de 3 = a x 3 + b x raíz de 3. Mas o certo é 2x raíz de 3 = a x 3 + b x raíz de 2.

por **Baltuilhe** Dom 06 Mar 2016, 12:53

Bom dia!

Carlos, realmente tem um pequeno erro em seu sistema:
\\\vec{AD}=\alpha\vec{AB}+\beta\vec{AC}\\\left(2\sqrt{3},2\right)=\alpha(3,0)+\beta\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)\\\begin{cases}3\alpha+\sqrt{2}\beta=2\sqrt{3}\\\sqrt{2}\beta=2\end{cases}

Daí, resolvendo, encontrará:
\\\beta{=}\frac{2}{\sqrt{2}}\\\boxed{\beta{=}\sqrt{2}}\\3\alpha+\sqrt{2}(\sqrt{2}){=}2\sqrt{3}\\3\alpha+2{=}2\sqrt{3}\\3\alpha{=}2\sqrt{3}-2\\\boxed{\alpha{=}\frac{2(\sqrt{3}-1)}{3}}

Resposta:
\\\vec{AD}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{3}\vec{AB}+\sqrt{2}\vec{AC}

Espero ter ajudado! Smile

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