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Terceiro Capitulo Fisica 1 Moyses Nussenzveig

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Terceiro Capitulo Fisica 1 Moyses Nussenzveig Empty Terceiro Capitulo Fisica 1 Moyses Nussenzveig

Mensagem por Carlos Adir Sab 20 Fev 2016, 11:10

Questão 01 - No problema do caçador e do macaco (Seç. 3.1), mostre analiticamente que a bala atinge o alvo, e calcule em que instante isso ocorre, para uma dada distância d entre eles e altura h do galho, sendo v0 a velocidade inicial da bala. Interprete o resultado.

Gabarito: Instante [Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.] após o disparo

Spoiler:
Podemos desenhar o problema e obter as equações horárias dos corpos

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Podemos considerar t=0 o momento inicial, no momento em que ocorre o impacto, as posições são iguais, logo:

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Como existe concordâcia nos tempos encontrados, então o tiro atinge o macaco.

Agora um comentários acerca da questão: Tal evento não é possível pois a velocidade de uma bala é geralmente maior que a velocidade do som e então, até escutar o som do tiro, o macaco seria atingido. E neste caso o caçador deveria mirar acima do macaco para acerta-lo, pois a bala após um tempo terá descido um pouco.

Questão 02 - Um avião a jato voa para o norte, de Brasília até Belém, a 1.630 km de distância, levando 2h 10 min nesse percurso. De lá, segue para oeste, chegadno a Manaus, distânte 1290 km de Belém, após 1h 50 min de vôo. (a) Qual é o vetor deslocamento total do avião? (b) Qual é o vetor velocidade média no trajeto Brasília - Belém? (c) Qual é o vetor velocidade média no trajeto Brasília - Manaus?

Gabarito: (a) 2.080 km direção e sentido: 38º,4 a O da direção N; (b) 730 km/h, direção e sentido N; (c) 508 km/h, mesma direção e sentido de (a).

Spoiler:
Considerando primeiramente a Terra como plana, então obtemos a Figura 3.2.1:

Então usamos uma notação:

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Então temos:

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Então, o vetor deslocamento pode ser determinado por pitágoras:

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Sendo então o ângulo theta determinado pelo produto escalar:

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Temos então os vetores:

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O vetor velocidade média é dado pelo quociente do vetor deslocamento e o tempo, logo:

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Cujo módulo vale:

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De modo análogo, agora temos [Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.], e então:

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Contudo, esta é a resposta se considerarmos a Terra plana. Caso ela seja uma proximação de uma esfera, podemos dizer que o avião percorreu arcos de circunferência, e então achamos a distância como mostra a Figura 3.2.2:
Na resposta (a) é necessário levar em consideração de tal fato pois o vetor deslocamento corresponde à linha reta que liga as duas cidades, atravessando então a Terra. Para achar o módulo do vetor deslocamento total não é dificil, pois:

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Que usando em cada caso, e adotando Raio=R=Raio Terra=6371 km, então obtém-se:

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Questão 03 - Mostre que a magnitude da soma de dois vetores a e b está sempre compreendida entre os limites
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Em que situações são atingidos os valores extremos?

Gabarito: -

Spoiler:
Podemos desenhar os vetores, e obteremos a figura 3.3.1 em um caso bem restrito.
Uma desigualdade bastante conhecida é a desigualdade triangular, e com ela pode-se perceber que o terceiro lado está entre a subtração e a soma dos outros dois lados:

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Outra maneira é analiticamente:
Sejam os vetores [Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.] onde theta é o ângulo relativo aos dois vetores, com isso:

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E então:

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O que condiz, verificando-se os extremos somente se o cosseno dá 1 ou -1. Isto é, os dois estão na mesma direção. Logo, a condição é:

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Questão 04 - As magnitudes de a e b são iguais. Qual é o ângulo entre a+b e a-b?

Gabarito: 90º

Spoiler:
Podemos então fazer, como no exemplo acima:

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Agora, sabemos que

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O ângulo é dado por:

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onde theta é o ângulo entre os vetores v e w.
E então,

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Logo

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,

Questão 05 - As latitudes e longitudes de São Paulo, Rio de Janeiro e Belo Horizonte, respectivamente, são as seguintes: São Paulo: 23º33' S, 46º39' O; Rio de Janeiro: 22º53' S, 43º17' O; Belo Horizonte: 19º55' S, 43º56' O. A partir destes dados, (a) Calcule as distâncias entre as três cidades; (b) Em relação a um sistema de coordenadas com origem em São Paulo e eixo das abcissas na direção São Paulo - Rio de Janeiro, obtenha o vetor de posição de Belo Horizonte.

Gabarito: (a) S. Paulo - Rio: 381 km; Rio - Belo Horizonte: 337 km; S. Paulo - Belo Horizonte: 504 Km. (b) 504 km, direção e sentido 42º acima da direção S. Paulo → Rio.

Spoiler:

Ainda não terminada, esperando mouse para fazer imagens para melhor entendimento :/
Novamente, assim como na questão 2, não devemos considerar a Terra como plana, e novamente, usamos o raio da Terra como 6371 km, como não foi informado no enunciado. Tomemos os eixos como mostra em (b) para obtermos a Figura 3.5.1:
Se adicionarmos, obtemos:
Tal imagem foi planificada, embora não devêssemos. Vamos então utilizar a Figura 3.5.2:
Um ponto em uma superfície esférica pode ser determinado por:
e então obter a distância entre dois pontos, em linha reta:

Questão 06 - Um helicóptero, saindo de seu hangar, percorre 100 m numa pista em direção ao sul, dobrando depois para entrar noutra pista rumo ao leste, de onde, após percorrer mais 100 m, levanta vôo verticalmente, elevando-se a 100 m sua altitude. Calcule: (a) A magnitude do deslocamento total; (b) o ângulo de elevação em relação ao solo, a partir do hangar; (c) a direção da projeção sobre o solo do vetor deslocamento total.

Gabarito: (a) 173 m; (b) 35,3º (c) 45º SE.

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Spoiler:


Questão 07 - Uma pedra que se encontra numa elevação de 60 m, sobre uma plataforma horizontal, é arrastada por uma enxurrada com velocidade de 3 m/s. A que distância horizontal do ponto de projeção e com que velocidade (em km/h) ela atinge o solo?

Gabarito: 10,5 m; 124 km/h

Spoiler:
Observamos a Figura 3.7.1


Velocidade horizontal não varia, logo:
Velocidade vertical


O tempo de queda pode ser dado por:

Assim, no momento da colisão, então:
Logo,
A distância pode ser dada por:

Questão 08 - Uma mangueira, com bico a 1,5 m cima do solo, é apontada para cima, segundo um ângulo de 30º com o chão. O jato de água atinge um canteiro a 15 m de distância. (a) Com que velocidade o jato sai da mangueira? (b) Que altura ele atinge?

Gabarito: (a) 12 m/s; (b) 3,35 m.

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Spoiler:

Questão 09 - Num jogo de vôlei desde uma distância de 14,5 m da rede, é dado um saque do tipo "jornada nas estrelas". A bola sobe a 20 m acima da altura de lançamento, e desce até a altura do lançamento num ponto do campo adversário situado a 1 m da rede e 8 m a esquerda do lançamento. (a) Em que ângulo a bola foi lançada? (b) Com que velocidade (em km/h) volta a atingir a altura do lançamento? (c) Quanto tempo decorre neste percurso?

Gabarito: (a) 77,7º; (b) 73 km/h; (c) 4 s.

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Spoiler:

Questão 10 - Um jogador de basquete quer encestar a bola levantando-a desde uma altura de 2 m do chão, com velocidade inicial de 7 m/s. A distância da bola à vertical que passa pelo centro do cesto é de 3 m, e o aro do cesto está a 3,05 m de altura do chão. Em que ângulo a bola deve ser levantada?

Gabarito: 67,8 º

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Spoiler:

Questão 11 - Demonstre o resultado de Galileu enunciado à pg. 53, mostrando que, para uma dada velocidade inicial v₀, um projétil pode atingir o mesmo alcance A para dois ângulos de elevação diferentes, θ = 45º + δ e θ = 45º - δ contanto que A não ultrapasse o alcance máximo Am = v₀²/g. Calcule δ em função de v₀ e A.

Gabarito: [Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.]

Spoiler:
Temos que A=, de tal modo que Am ,
Isto é,

Assim, temos dois casos:
1º)
2º)
logo:

De modo análogo, temos:

Logo, temos que A1 = A2, para angulos e .
Agora podemos fazer:
Observemos que se Sem desvio em relação à reta y=x.

Questão 12 - Generalize o resultado do problema anterior, mostrando que um projétil lançado do chão com velocidade inicial v₀ pode atingir um ponto situado à distância x e à altura y para dois ângulos de elevação diferentes, contanto que o ponto (x, y) esteja abaixo da "parábola de segurança"
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onde Am é o alcance máximo.

Gabarito: -

Spoiler:
Parte desta questão já foi resolvida em 10, assim, podemos dizer que a parabola de segurança pode ser dada por:

Como , logo, a equação vira:

Outra maneira de descobrirmos a parábola de segurança é usar a desigualdade:

Assim, se e então.
Ocorrendo a igualdade se, e somente se

Questão 13 - Um jogador de futebol inexperiente chuta um pênalti a 9 m do gol, levantando a bola com velocidade inicial de 15 m/s. A altura da trave é de 2,4 m. Calcule: (a) a que distância máxima da trave, atrás do gol, um apanhador de bola pode ficar agachado, e (b) a que distância mínima devem ficar os espectadores, para que não corram risco nenhum de levar uma bolada.

Gabarito: (a) 9,56 m; (b) 18,7 m

Spoiler:
Primeiro desenhamos.
Temos que, para dois ângulos diferentes, passa pela trave superior, então para o apanhador ser útil em seu serviço é necessário que .
Temos o alcance determinado por A=
E como achado no exercício 10, os angulos tal que a trave esteja a uma distância x do local de lançamento e tenha altura y satisfazem:
Então, como theta está entre, então.
Contudo, podemos ver que se (pois a trave é baixa o suficiente para a bola passar com esse ângulo, então o máximo ocorrerá se.
E o menor valor ocorrerá se o ângulo for o maior possíve, e então:
Em um caso mais geral, se queremos lançar para o alto de uma torre(o máximo alcance não será mais 45º) devemos considerar theta_1. Podemos então resolver o problema da trave:
Assim,

Logo, a distância entre a trave é tal
Os espectadores estarão seguros se a distância da arquibancada for maior que d_max. Ou seja, podem ficar, ou atrás do gol, entre 0 e 55 cm, ou ficam a uma distância mínima de 14 m. Mais geralmente, devem ficar a uma distância do jogador, e se considerarmos a altura da arquibancada, então o ponto (M, h) deve pertencer à parábola de segurança, e por consequência,

E como
E no caso temos:

Agora, podemos analisar no caso de uma torre, alta o suficiente a uma distância D do lançamento e tenha altura h.
Logicamente, temos que o ponto (D, h) deve ficar acima da parábola de lançamento de 45º, ou seja:
Então, novamente o apanhador deve ficar a uma distância tal que

donde
E novamente, para somente um valor de d, ocorre se (D, h) pertence à parábola de segurança, e neste caso:

Questao 14 - Um jogador de futebol, a 20,5 m do gol adversário, levanta a bola com um chute a uma velocidade inicial de 15 m/s, passando-a ao centroavante do time, que está alinhado com ele e o gol, a 5,5 m do gol. O centroavante, que tem 1,80 m de altura, acerta uma cabeçada na bola, imprimindo-lhe um incremento de velocidade na direção horizontal, e marca gol. (a) De que ângulo a bola havia sido levantada? (b) Qual foi o incremento de velocidade impresso à bola pela cabeçada? Considere cuidadosamente todos as soluções possíveis.

Gabarito: (a) 28,5º; (b) 3,85 m/s

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Spoiler:

Questão 15 - O alcance de um projétil é 4 vezes sua altura máxima, e ele permanece no ar durante 2 s. (a) Em que ângulo ele foi lançado? (b) Qual foi a velocidade inicial? (c) Qual é o alcance?

Gabarito: (a) 45º; (b) 13,9 m/s; (c) 19,6 m.

Spoiler:

Questão 16 - Um canhão lança um projétil por cima de uma montanha de altura h, de forma a passar quase tangenciado o cume C no ponto mais alto de sua trajetória. A distância horizontal entre o canhão e o cume é R. Atrás da montanha há uma depressão de profundidade d (Fig. 3.36). Determine a distância horizontal entre o ponto de lançamento O e o ponto P onde o projétil atinge o solo, em função de R, d e h.

Gabarito: [Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.]

Spoiler:
Assim como em outras questões, temos as equações:
Por outro lado, temos
Assim, sabemos theta, v em função de g, h e e R.
Como a equação da trajetória é dada por:
Então quando y=0d, então:
Podemos ver que se h=0, então x=2R, o que é esperado. Se h<0, isto significa que houve uma elevação e o alcance é menor, como esperado.

Questão 17 - Uma pedra cai de um balão que se desloca horizontalmente. A pedra permanece no ar durante 3 s e atinge o solo segundo uma direção que faz um ângulo de 30º com a vertical. (a) Qual é a velocidade do balão? (b) De que altura caiu a pedra? (c) Que distância a pedra percorreu na horizontal? (d) Com que velocidade a pedra atinge o solo?

Gabarito: (a) 17 m/s; (b) 44 m; (c) 51 m; (d) 34 m.

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Spoiler:

Questão 18 - Calcule a velocidade angular média de cada um dos três ponteiros de um relógio.

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Mensagem por Matheus Tsilva Seg 11 Set 2017, 23:42

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Mensagem por Matheus Tsilva Seg 11 Set 2017, 23:43

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Mensagem por Matheus Tsilva Seg 11 Set 2017, 23:45

Questão 15 , não sei se era pra fazer kkkkkk
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Mensagem por Carlos Adir Ter 12 Set 2017, 09:42

Olá Matheus,

Obrigado pela resposta! A minha intenção era resolver todos os capitulos e colocar a resolução aqui, mas por falta de tempo(e principalmente planejamento) acabei não terminando.
Mas qualquer um pode contribuir para a resolução das questões!
Se possível, puder digitar texto, porque imagens se perdem facilmente conforme passam os anos. Very Happy

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