esferas na agua
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esferas na agua
Uma pequena esfera com densidade relativa (razão entre a densidade de um corpo e a densidade da água) ρ1 > 1 é solta na superfície livre de um recipiente contendo água. No mesmo instante é solta outra esfera pequena com densidade relativa ρ2 < 1 do fundo do recipiente. Em que ponto, a partir do fundo do recipiente, as esferas irão se encontrar? Desprezar os efeitos da viscosidade do fluido e as dimensões da esfera
Suou.- Jedi
- Mensagens : 384
Data de inscrição : 20/02/2012
Idade : 30
Localização : São Paulo, São Paulo, Brasil
Re: esferas na agua
Estou supondo que o volume de ambas as esferas é o mesmo: V
Densidade da água = 1
Esfera ρ1 ---> ρ1 = m1/V ---> V = m1/ρ1
Esfera ρ2 ---> ρ2 = m2/V ---> V = m2/ρ2
Esfera 1 solta no alto: P1 - E1 = m1.a1 --> m1.g - V.1.g = m1.a1 ---> m1.g - (m1/ρ1).g = m1.a1
a1 = g.(1 - 1/ρ1) ---> a1 = g.(ρ1 - 1)/ρ1
Esfera 2 solta no fundo: E2 - P2 = m2.a2 ---> V.1.g - m2.g = m2.a2 ---> (m2/ρ2).g - m2.g = m2.a2
a2 = (1/ρ2 - 1).g ---> a2 = g.(1 - ρ2)/ρ2
Espaço percorrido por 1 ---> h1 = a1.t²/2 --> t²/2 = h1/a1 ---> t²/2 = h1.ρ1/g.(ρ1 - 1)
Espaço percorrido por 2 ---> h2 = (1/2).a2.t² --> t²/2 = h2/a2 ---> t²/2 = h2.ρ2/g.(1 - ρ2)
Igualando ambas ---> h1.ρ1/g.(ρ1 - 1) = h2.ρ2/g.(1 - ρ2) ---> h1.ρ1/(ρ1 - 1) h2.ρ2/(1 - ρ2) --->
h2 .... (1 - ρ2).ρ1
--- = ---------------
h1 .... (ρ1 - 1).ρ2
Só conseguimos calcular a razão entre as alturas, e não o valor de h2
Somente seria possível calcular h2 se fosse informado a altura H do recipiente: H = h1 _ h2
Densidade da água = 1
Esfera ρ1 ---> ρ1 = m1/V ---> V = m1/ρ1
Esfera ρ2 ---> ρ2 = m2/V ---> V = m2/ρ2
Esfera 1 solta no alto: P1 - E1 = m1.a1 --> m1.g - V.1.g = m1.a1 ---> m1.g - (m1/ρ1).g = m1.a1
a1 = g.(1 - 1/ρ1) ---> a1 = g.(ρ1 - 1)/ρ1
Esfera 2 solta no fundo: E2 - P2 = m2.a2 ---> V.1.g - m2.g = m2.a2 ---> (m2/ρ2).g - m2.g = m2.a2
a2 = (1/ρ2 - 1).g ---> a2 = g.(1 - ρ2)/ρ2
Espaço percorrido por 1 ---> h1 = a1.t²/2 --> t²/2 = h1/a1 ---> t²/2 = h1.ρ1/g.(ρ1 - 1)
Espaço percorrido por 2 ---> h2 = (1/2).a2.t² --> t²/2 = h2/a2 ---> t²/2 = h2.ρ2/g.(1 - ρ2)
Igualando ambas ---> h1.ρ1/g.(ρ1 - 1) = h2.ρ2/g.(1 - ρ2) ---> h1.ρ1/(ρ1 - 1) h2.ρ2/(1 - ρ2) --->
h2 .... (1 - ρ2).ρ1
--- = ---------------
h1 .... (ρ1 - 1).ρ2
Só conseguimos calcular a razão entre as alturas, e não o valor de h2
Somente seria possível calcular h2 se fosse informado a altura H do recipiente: H = h1 _ h2
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71437
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: esferas na agua
Élcio, é possível dizer que "P1 - E1 = m1.a1", se E1 varia conforme a esfera adentra a água?
Re: esferas na agua
Resolvi a questão supondo que a esfera do alto começa totalmente mergulhada.
E certamente podemos considerar isto já que a esfera tem pequenas dimensões e o erro cometido pode ser desprezado (não se considera o fato da esfera começar tangenciando a superfície da água).
E certamente podemos considerar isto já que a esfera tem pequenas dimensões e o erro cometido pode ser desprezado (não se considera o fato da esfera começar tangenciando a superfície da água).
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71437
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Idade : 77
Localização : Santos/SP
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