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OBM-2005 divisibilidade

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Mensagem por Pedro Prado Qua 03 Fev 2016, 12:13

(OBM 2005) Prove que a soma , onde n é um inteiro e k é ímpar é divisível por 1+2+3+...+n

Eu fiz parte dela. Dividi em dois casos, um onde n é par e outro onde n é ímpar. Para n par, eu consegui fazer (não sei se está certo).
 
Para n ímpar tentei fazer algo parecido mas não deu certo.
OBS: Não consegui colocar os acentos no latex, por isso a resolução veio sem eles.
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Mensagem por Convidado Qua 03 Fev 2016, 17:20

Continuando seu raciocínio:

I) Se n for par:
Na prova da divisibilidade por n, você listou os pares (n-x)^k+x^k. Imaginando que x varie de x=0 até n/2, vemos que até (n/2)-1 teremos pares com termos distintos, porém quando se chega a n/2, teremos a soma 2(\frac{n}{2})^k=n(\frac{n}{2})^{k-1} que também é divisível por n, logo para n/2 também.
No outro grupamento de pares, teremos todos as duplas com termos distintos entre si, não gerando nenhum problema.
Provado para n par.

II) Se n for ímpar:
Se você fizer o primeiro agrupamento de pares, todas as duplas terão termos distintos entre si, não gerando nenhum problema.
Na soma da forma (n-y)^k+(y+1)^k de y=0 até (n-1)/2 todos as duplas terão os termos distintos, mas ao chegar a y=(n+1)/2 teremos a soma 2(\frac{n+1}{2})^k=(n+1)(\frac{n+1}{2})^{k-1} que também será divisível por (n+1), logo também o será por (n+1)/2.
Provado para n ímpar.

Espero ter ajudado o teu raciocínio. Abraço!

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Mensagem por Pedro Prado Qua 03 Fev 2016, 17:30

Valeu cara, você é fera mesmo!!!
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