Questão envolvendo equação polinomial

por Kulo Seg 25 Jan 2016, 17:24

O polinômio p é definido por p(x) = a.(x^2005) + x + b, sendo a e b números reais. Se p(x+1) - p(x-1) = p(x), para todo x pertencente ao conjunto dos reais, então:

a) a = 0 e b = 2
b) b = 0, para todo a pertencente aos reais
c) a = 1, para todo b pertencente aos reais
d) a = b = 0
e) Não existem a, b pertencentes aos reais

por Convidado Seg 25 Jan 2016, 18:04

Vamos fazer trabalhar na igualdade dos entre os coeficientes de cada monômio, devido a igualdade entre os dois polinômios:

x^{2005} :
p(x+1) -> ax^{2005} , pelo desenvolvimento de a(x+1)^2005
p(x-1) -> ax^{2005} , pelo desenvolvimento de a(x-1)^2005
p(x) -> ax^{2005}

logo a - a = a -> a=0

Dos monômios de grau 2004 até 2, teremos a igualdade 0=0 ou a=0

x :
p(x+1) -> 2005ax + x
p(x-1) -> 2005ax + x
p(x) -> x

2005a+1-(2005a+1) = 1 -> 0=1 (Absurdo)!!

x^0 :
p(x+1) -> a+1+b
p(x-1) -> -a -1 +b
p(x) -> b

a+1+b-(-a-1+b)=b -> 2a+2=b -> b=0
Por mais que a=b=0, a igualdade entre os monômio de grau 1 gera um absurdo. Logo a melhor alternativa é a da letra E.

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