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Olimpíada Paulista/05

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Mensagem por Lucas Lopess 7/1/2016, 8:33 am

Seja ABCD um retângulo. Considere os pontos E e F sobre a diagonal AC tais que AE = AB e AF = AD . Sejam G e H as projeções ortogonais de E e F sobre o lado AB , respectivamente.

a) Sendo BÂC = α, prove que AG = AC * cos²α
b) Prove que AG + FH = AC

Alguém poderia me ajudar na letra B?

Desde já, eu agradeço
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Mensagem por Carlos Adir 9/1/2016, 10:02 am

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a)
Temos que, segundo a imagem, AG = AE * cos α
Mas também, podemos ver que AE = AB segundo o enunciado.
De outra maneira, temos que AB = AC * cos α
Logo, AG = [AE] * cos α = [AB] * cos α = [AC * cos α] * cos α = AC * cos² α

b)
Como já achado, AG = AC * cos² α
De maneira análoga, temos que FH = AC * sen² α
Logo, temos AG + FH = AC * cos²α + AC * sen² α = AC [ sen² α + cos² α ] = AC

____________________________________________
← → ↛ ↔️ ⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇ 
♏️  ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
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Mensagem por Lucas Lopess 11/1/2016, 7:16 pm

Obrigado, Carlos!  Very Happy
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