Triângulo

por Matheus José Ter 05 Jan 2016, 13:12

Num triângulo ABC são dados:
I) A(2,0)
II) M(-1,4) ponto médio de AB
III) d(A,B) = 10
IV) d(B,C) = 10√2
Obter o vértice C do triângulo.

Gabarito: C(10,6) ou C(-6,-6)

por **rodrigoneves** Ter 05 Jan 2016, 14:29

\\x_{M} = \frac{x_A + x_B}{2} \\ -1 = \frac{2+ x_B}{2} \Rightarrow x_B = -4
\\y_M = \frac{y_A +y_B}{2} \\ 4= \frac{0+ y_B}{2} \Rightarrow y_B = 8
B= \left( -4,8 \right)
Isso já verifica d(A,B) = 10.
\\d(B,C) = 10\sqrt{2} \Rightarrow (x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2 = (10\sqrt{2})^2 \\ \therefore (x_C + 4)^2 + \left( y_C - 8 \right)^2 = 200
Fim.
Existem infinitas possibilidades para C, todas pertencentes à circunferência acima. (desde que não sejam colineares)
No entanto, é muito fácil perceber que a afirmação III deveria ser
III) d(A,C) = 10
Afinal, nem a usamos (se fosse como está escrita, seria totalmente desnecessária, como vimos, pois já está "embutida" em I e II).
Portanto, vamos prosseguir com a correção feita:
\\(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2 = 10^2 \Rightarrow (x_C - 2)^2 + y_C^2 = 100
Ficamos com o sistema abaixo (apenas por comodidade, vamos omitir o índice "C"):
\left\{ \begin{matrix} (x+4)^2 + \left( y-8 \right)^2 = 200\\ (x-2)^2 + y^2 = 100 \end{matrix} \right
Desenvolva a 1ª equação
\\x^2 + 8x + 16 + y^2 - 16y + 64 = 200 \\x^2 + y^2 = 120 - 8x + 16y
O mesmo na 2ª
\\ x^2 - 4x + 4 + y^2 = 100 \\x^2 + y^2 = 96 + 4x
Agora iguale.
\\ 120 - 8x + 16 y = 96 + 4x \Leftrightarrow 30 - 2x +4y = 24 + x \Leftrightarrow 3x = 4y + 6 \\ \Leftrightarrow x = \frac{4}{3} y + 2
Agora volte na 2ª.
\\ x^2 + y^2 = 96 + 4x \\ \left( \frac{4}{3}y + 2\right)^2 + y^2 = 96 + 4\left(\frac{4}{3}y + 2 \right) \\ \frac{16}{9}y^2 + \frac{16}{3}y + 4 + y^2 = 104 + \frac{16}{3}y \\ \frac{25}{9}y^2 = 100 \Leftrightarrow \frac{5}{3}y = \pm 10 \Leftrightarrow y = \pm 6
Agora use a relação linear que obtivemos:
x = \frac{4}{3} y + 2 = \frac{4}{3}(\pm 6) + 2 = \pm 8 + 2
+ -----> x = 8 + 2 = 10
- ------> x = -8 + 2 = -6
Portanto:
C = (10, 6) \, \text{ou} \, C= (-6, -6)

por Matheus José Ter 05 Jan 2016, 15:09

Ops, você está certo era d(A,C) = 10 mesmo, genial por ter percebido e obrigado pela ajuda =]

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