Determine a imagem e o periodo

por 4Edro Sáb 02 Jan 2016, 10:12

O conjunto imagem e o periodo de f(x)=2sen^2(3x)+sen(6x)-1 sao, respectivamente:

Gabarito: [-\sqrt{2},\sqrt{2}]\; \frac{\Pi }{3}

por **rodrigoneves** Sáb 02 Jan 2016, 12:04

\\ \cos{2\theta}= cos^2{\theta} - \text{sen}^2\theta = 1 - 2\text{sen}^2\theta \Rightarrow 2\text{sen}^2\theta - 1 = -\cos{2\theta}
Faça \theta = 3x
f(x) = 2\text{sen}^2 3x - 1 + \text{sen}6x = -\cos{2\cdot3x} + \text{sen}\,6x = \text{sen}\,6x - \cos{6x} = \text{sen}\,6x - \text{sen}\,\left(\frac{\pi}{2}-6x\right) = 2\cdot \text{sen}\, \left(\frac{6x - \left(\frac{\pi}{2}-6x\right)}{2}\right) \cos{\left(\frac{6x+\frac{\pi}{2}-6x}{2}\right)}
Daí você desenrola!!
Se não conseguir, ou não tiver entendido alguma passagem, é só pedir que eu mostro até o final

por **Gabriel Cluchite** Sáb 02 Jan 2016, 12:13

Lembrete:
2sen²(3x)=1-cos(6x) (Identidade do Arco-metade)

f(x)=1-cos(6x)+sen(6x)-1
f(x)=sen(6x)-cos(6x)

Usando o truque do triângulo retângulo:

Determine a imagem e o periodo CmiSaxu

sen(a)=1/√2 ==>1=sen(a).√2
cos(a)=1/√2 ==> 1=cos(a).√2

OBS: a=∏/4, visto que sen(a)=cos(a)=√2/2

Substituindo os algarismos "1" da função f(x)=1.sen(6x)-1.cos(6x)

f(x)=cos(∏/4).√2.sen(6x) - sen(∏/4).√2.cos(6x)
f(x)=√2.[cos(∏/4).sen(6x) - sen(∏/4).cos(6x)]
f(x)=√2.[cos(6x-∏/4)]

Com isso, sabemos que a imagem é [-√2,√2], visto que -1≤[cos(6x-∏/4)≤1

Período:

6x-∏/4=0
x=∏/24

6x-∏/4=2∏
6x=9∏/4
x=9∏/24

9∏/24-∏/24=8∏/24=∏/3

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