medianas, razão entre áreas

Dado o triângulo ABC (escaleno), qual a razão entre as áreas de um outro triângulo formado com as medianas dele e ele?

Resp.: 3/4

Para ser honesto já vi este problema, não sei se aqui ou alhures. Apenas acrescentei o "escaleno" para que ninguém venha com a falaciosa (e ridícula) argumentação de que como-pode-ser-qualquer-triângulo-então-vamos-usar-o-equilátero. Há que primeiro, partindo de um triângulo genérico, provar que vale para quaisquer triângulos.

Seja S a área de ABC.

Grato pelo interesse, Raimundo, mas foi mesmo erro de interpretação.

Repetindo o enunciado com outras palavras: existe um triângulo ABC cuja área designamos por S. Um outro triângulo tem os lados com a mesma medida das medianas do triângulo ABC, seja S' a área deste triângulo. Qual a razão S'/S ?

Uái! é a cabeça rateando.
Desenho 1

:bball:
Obrigado, Raimundo! Boa resolução.
Depois posto uma outra que, forçosamente, será parecida à sua.

:bball:

Raimundo,
fiquei devendo outra resolução e segue, agora, uma do mestre russo Lidskī.

Xô de bola!

Adorei ambas as resoluções!

No caso da solução do Raimundo fiquei só em dúvida de como o ponto N (do triângulo PMN) realmente seria o encontro entre as duas medianas PN e MN! Fiz o desenho e sei que é... mas não consegui 'enxergar'

Abraços!

Baltuilhe,
entendo que você se refere ao segundo desenho do Raimundo. Neste, infelizmente, ele deixou dois pontos sem nome, o que dificulta referenciar, e mudou o ponto N de lugar em relação ao desenho de cima.

Mas, basicamente, o que o Raimundo fez foi transladar medianas. Com isso ele criou paralelogramos, cuja propriedade é terem lados opostos paralelos e de mesma medida. Tomei a liberdade de fazer algumas anotações sobre o desenho dele, veja se isso lhe esclarece alguma coisa -- acho que agora sua questão fica no ponto Q.



Porque M, N e P são pontos médios e os deslocamentos sempre são de metade dos lados e sobre estes, fica resguardada a posição relativa das extremidades dos segmentos transladados. Note que o triângulo QPC é congruente ao triângulo BAP, pois PN é paralela a AB.

Valeu, Medeiros!

Agora 'enxerguei'!

E o ponto N era realmente o Q, mesmo

Abraços!