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AFA sistema linear

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Mensagem por Convidado Ter 15 Dez 2015, 14:13

Os valores de m para os quais o sistema admite somente a solução x=y=z=0, são:



a) m=4
b) m>0
c) m≠4
d) m<5

Resposta: alternativa a. Mas por que não seria m diferente de 4? Pois m=4 não levaria a um sistema possível indeterminado?

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Mensagem por Elcioschin Ter 15 Dez 2015, 14:22

Determinante principal ---> ∆ =

1 -1 1
2 -3 2
4 .3 m

∆ = - m + 4 ---> ∆ = 0 ---> m = 4

Determinante das incógnitas ---> ∆x = ∆y = ∆z = 0

Se m = 4 ---> sistema possível e indeterminado
Se m ≠ 4 ---> ∆ ≠ 0, por exemplo ∆ = 1 ---> x = ∆x/∆ = 0/∆ = 0 ---> idem para y, z

Logo o sistema só admite a solução trivial x = y = z = 0


Última edição por Elcioschin em Ter 15 Dez 2015, 19:27, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Convidado Ter 15 Dez 2015, 18:27

Elcioshin, uma matriz homogênea sempre terá solução, ou seja, ela será possível determinado ou possível indeterminado. Logo, se o determinante das matrizes for zero, chegaremos em algo do tipo 0/0. E isso levaria várias soluções, se o determinante da matriz dos coeficientes for não nulo, o sistema terá uma única solução, que é a trivial. Obrigado mesmo assim.

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Mensagem por Elcioschin Ter 15 Dez 2015, 19:24

Você tem razão: se m ≠ 0 ---> x = 0, y = 0, z = 0
Vou editar.
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Mensagem por Emanuel Dias Ter 14 Abr 2020, 14:03

Um outro modo apenas fazendo alterações elementares no sistema:

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Mensagem por RafaelSchuinki Ter 11 Ago 2020, 12:07

Segundo o livro Elementos de Matemática VOL 3, Marcelo Rufino, PAG 286, essa solução de vocês não faz sentido.

Por ser um sistema 3x3, que queremos que seja SPD, podemos usar Cramer, e o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de 0 para que seja SPD. Isso implica m diferente de 4.

Além disso, na solução do amigo aqui em cima, Emanuel Dias, ele considera que no caso de um sistema 2x2 da forma
ax+by=m
cx+dy=n
a/c = b/d ≠ m/n é um SPD
Todavia isso é um SI

Segundo o mesmo livro, que apresenta demonstrações, no caso particular de um sistema 2x2 do formato apresentado, teremos

a/c ≠ b/d ... spd
a/c = b/d ≠ m/n ... si
a/c = b/d = m/n ... spi

Acredito que o gabarito esteja incorreto

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Mensagem por RafaelSchuinki Ter 11 Ago 2020, 12:11

Além disso, por solução computacional via Rouché-Capelli


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Mensagem por Take me down Ter 11 Ago 2020, 14:12

Olá, RafaelSchuinki,

O gabarito deveria ser m ≠ 4, já que queremos uma única solução.

Para m = 4 teríamos infinitas soluções.

Note nas mensagens anteriores que o Elcioschin percebeu o equívoco e que o próprio autor da mensagem levantou essa pedra.

Muito bem!

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