(ITA - 2008) Volume do sólido de revolução

por **arimateiab** Ter 30 Nov 2010, 14:54

Seja C uma circunferência de raio r e centro O e AB um diâmetro de C. Considere o triângulo equilátero BDE inscrito em C. Traça-se a reta s passando pelos pontos O e E até interceptar em F a reta t tangente à circunferência C no ponto A. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelo arco AE e pelos segmentos AF e EF em torno do diâmetro AB.

Gabarito:

Spoiler:

Se possível coloque um esboço Very Happy

Obrigado :]

P.S:

por **arimateiab** Ter 30 Nov 2010, 15:21

Agora está correta. Havia um problema por conta dos caracteres, por conta desse problema a mensagem foi apagada pela metade.

por **Euclides** Ter 30 Nov 2010, 15:27

por **arimateiab** Ter 30 Nov 2010, 17:05

Obrigado Euclides, clareou muito esse esboço Very Happy

Agora os cálculos;

O Volume então será:
$V_s=V_1-(V_2+V_3)$

Calculando os Volumes 1,2 e 3:

$V_1=\frac{\pi\cdot r_2^2\cdot h}{3}\rightarrow Semelhanca\ para\ achar\ r_2 : r_2=r\cdot\sqrt{3} \rightarrow \\ V_1 = \frac {\pi \cdot r^2 \cdot 3 \cdot r}{3} \to V_1=\pi \cdot r^3$

$V_2=\frac {\pi \cdot r^2}{12} \cdot (3r-\frac{r}{2}) \to V_2= \frac {\pi \cdot 5 \cdot r^3}{24}$

$V_3 = \frac{ \pi \cdot r^2 \cdot 3 \cdot r}{3 \cdot 4 \cdot 2} \to V_3= \frac { \pi \cdot r^3}{8}$

Voltando...

$V_s=V_1-(V_2+V_3) \to V_s=r^3 \cdot \pi - (\frac{ \pi \cdot r^3}{8}+ \frac{5\cdot r^3 \cdot \pi}{24})\to \\\ \\ V_s = r^3 \cdot \pi - \frac{8 \cdot \pi \cdot r^3}{24} \to V_s= \frac{16 \cdot r^3\cdot \pi}{24} \to \\ \\ V_s = \frac{2 \cdot r^3 \cdot \pi}{3}$

por Diogo Ter 30 Nov 2010, 17:56

Como faço para encontrar a fórmula do volume de uma calota?
heim, Euclides, uma outra maneira de resolver, também, seria fazer o volume do tronco de cone menos a calota...

por **Euclides** Ter 30 Nov 2010, 18:24

Olá Diogo,

a fórmula do volume de uma calota esférica está na figura que deixei acima:

$V_{calota}=\frac{\pi h^2(3r-h)}{3}\\\\r=raio\,\,da\,\,esfera\\h=altura\,\,da\,\,calota$

por Diogo Ter 30 Nov 2010, 18:37

Sim, Euclides, mas eu queria saber como faço para demonstrá-la?

por **Euclides** Ter 30 Nov 2010, 18:43

Ah, OK. Isso é feito por cálculo integral. Não sei se há uma demonstração euclidiana, deve haver mas não será tão simples.

http://obaricentrodamente.blogspot.com/2010/09/volume-de-uma-calota-esferica.html

por Diogo Ter 30 Nov 2010, 18:52

Beleza.
Valeu.

por **Elcioschin** Ter 30 Nov 2010, 19:01

Um dos meios de calcular é por integral.

Circunferência com centro na origem.
Seção da calota é um círculo distante x da origem e raio y = V(R² - x²)
Espessura da calota = dx

Parece-me que é Int[pi*(R² - x²)dx] com x variando desde (R - h) até R

Achei engraçado o Euclides falar em solução "euclideana"