(UFG) Circunferência e Reta

por **Giovana Martins** Sex 04 Dez 2015, 21:41

Dado o sistema de equações:

A) Represente graficamente, no plano cartesiano, o sistema quando a reta passa pelo centro da circunferência descrita pela primeira equação.

B) Determine o conjunto de valores de m para que o sistema admita duas soluções.

Olá!

1°) Tenho uma dúvida na letra A. Quando eu fui resolvê-la tive dificuldades na montagem do gráfico, pois não sabia se a circunferência interceptava o eixo y. Como eu faço para saber isso?

2°) Eu não consegui resolver a letra B. Quem puder me ajudar, agradeço.

por **Gabriel Cluchite** Sex 04 Dez 2015, 22:38

a)x²-4x+4+y²-2y+1=1
(x-2)²+(y-1)²=1

Centro: (2,1) Raio: 1

Essa circunferência não intercepta o eixo Y, mas tangencia o eixo X no ponto (2,0).

Para fazer essa análise, basta colocar o ponto (2,1) no seu eixo e visualizar todos os pontos com 1 unidade de distância desse centro.

b) x²-4x+4+y²-2y=0 (I)
y=mx (II)

x²-4x+4+m²x²-2mx=0 (II em I)

(1+m²)x²+(-4-2m)x+4=0

Sendo: P(m)=∆
P(m)=b²-4a.c
P(m)=(-4-2m)²-4(1+m²).4
P(m)=16+16m+4m²-16-16m²
P(m)=-12m²+16m

Para termos duas raízes reais diferentes, devemos ter nosso ∆>0
, logo P(m)>0

4m(-3m+4)>0

4m=0 --> m=0

-3m+4=0 --> m=4/3

Como nosso a<0, nossa concavidade é para baixo, ao analisarmos o sinal desta função, obteremos o intervalo
0 < m < 4/3 como solução.

Solução: {m∈ℝ/0 < m < 4/3 }

por **Gabriel Cluchite** Sex 04 Dez 2015, 22:56

Na verdade a minha resolução da letra B está errada, embora eu ache que esse é o caminho. =/

-12m²+4m ≠ 4m(-3m+4)

(coloquei o 4 em evidência e esqueci de tirá-lo =//)

por **Elcioschin** Sáb 05 Dez 2015, 00:52

Gabriel

Eis seu erro

Sendo: P(m)=∆
P(m)=b²-4a.c
P(m)=(-4-2m)²-4(1+m²).4 ---> Até aqui está certo

P(m)=16 + 16m + 4m² - 16 - 16m² ---> 16m ao invés de 4m
P(m)=-12m² + 16m ---> idem

O resto está certo