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Gravitação

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Mensagem por zanker Sex 04 Dez 2015, 20:20

A  figura  mostra  uma  cavidade  cúbica  de  lado  R  dentro  de  uma  esfera  metálica 
uniforme de raio  R. Considere que o centro de massa da esfera e da cavidade cúbica são ambos na 
origem. A massa da esfera antes da cavidade ser aberta era M. (a) Se colocarmos uma pequena esfera 
de massa  m  na origem, dentro da cavidade, qual será a força gravitacional sobre ela?  (0,5)  (b) Com 
que  força  gravitacional  a  esfera  com  a  cavidade  atrai  a  esfera  de  massa  m  a  uma  distância  d  da 
superfície da esfera?  (c) Se colocarmos  o  centro de massa do  cubo retirado  da esfera a  uma 
distância  p  a  direita  da  esfera  de  massa  m  (ao  longo  do  eixo  x),  a  qual  distância  p  a  atração 
gravitacional da esfera com cavidade será igual (em módulo) a atração gravitacional do cubo sobre a 
esfera de massa m?

[img]Gravitação B8sh0p[/img]

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Mensagem por Elcioschin Sex 04 Dez 2015, 21:02

Volume original da esfera ---> Ve = (4.pi/3).R³
Massa original da esfera = M

Massa específica do material da esfera ---> μ = M/Ve ---> μ = M/(4.pi/3).R³ ---> μ = 3.M/4.pi.R³

Volume do cubo ---> Vc = R³ ---> Massa do cubo ---> Mc = μ.Vc ---> Mc = (3/4.pi).M

Massa restante da esfera, com a retirada do material do cubo ---> M' = M - Mc ---> M' = M.(4pi - 3)/4.pi

a) Força gravitacional sobre a massa m no centro da esfera oca ---> F = G.M'.m/d²

Como d = 0, não se pode definir uma força gravitacional (impossibilidade da divisão por 0)

b) F = G.m.M'/(R + d)² ---> F = G.m.[M.(4.pi - 3)/4.pi]/(R + d)² ---> F = G.M.m.(4.pi - 3)/4.pi.(R + d)²

c) Força entre a massa Mc do cubo e a massa m ---> F' = G.Mc.m/p² ---> F' = G.(3/4.pi).M.m/p² --->

F' = G.M.m.3/4.pi.p²

F = F' ---> G.M.m.(4.pi - 3)/4.pi.(R + d)² = G.M.m.3/4.pi.p² ---> (4.pi - 3)/(R + d)² = 3/p² --->

p² = [3/(4.pi - 3)].(R + d)² ---> p = (R + d).√[3/(4pi - 3)] ---> p ~= 0,56.(R + d)
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Mensagem por zanker Sex 04 Dez 2015, 22:20

Muito obrigado!

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