Raio da esfera

por girizzoc Sex 27 Nov 2015, 18:54

Temos 3 cilindros circulares retos iguais e dois a dois tangente entre si.O espaço entre eles foi preenchido por uma fileira de esferas iguais, tangentes entre si e aos três cilindros, como mostra a figura abaixo.
Raio da esfera 24fmij6

Se o raio da base de cada cilindro mede 30 cm, o raio de cada esfera mede, em centimetros:

resposta:10(2√3-3)

por **Elcioschin** Sex 27 Nov 2015, 19:09

Sejam A e E os centros das duas circunferências inferiores esquerda e direita, respectivamente, P o ponto de encontro de ambas e O o centro da menor (de raio r).
Sejam M, N os pontos de encontro da maior esquerda com a menor e da maior direita com a menor.

Trace APE, AMO e ENO --->

AM = EN = AP = EP = 30 ---> AE = 60

OM = ON = r ---> OA = OE = r + 30

OÂE = OÊA = 30º ---> AÔE = 120º

Lei dos cossenos no triângulo OAE:

AE² = OA² + OE² - 2.OA.OE.cosAÊO ---> 60² = (r + 30)² + (r + 30)² - 2.(r + 30)².cos120º

Faça as contas e calcule r

por **Medeiros** Sáb 28 Nov 2015, 02:37

Outro modo.

Raio da esfera 10fdtl3

ADENDO:
Se percebermos que o triângulo retângulo é do tipo 30°/60°/90°, tal como indicado pelo Elcioschin, podemos aproveitar o fato de que o menor cateto é a metade da hipotenusa. Assim,

Raio da esfera R8xslt

por **Elcioschin** Sáb 28 Nov 2015, 09:44

Vejamos então uma quarta solução:

Aplicando a lei dos senos no triângulo equilátero OAE:

OA/sensenOÂE = AE/senAÔE ---> (R + r)/sen30º = 2.R/sen120º ---> (30 + r)/(1/2) = 60/(√3/2) --->

30 + r = 60/√3 ---> 30 + r = 20.√3 ---> r = 20.√3 - 30 ---> r = 10.(2.√3 - 3)

Esta diversidade de soluções para um mesmo problema, mostra como a matemática tem infinitos recursos. Basta conhecê-los (profundo conhecimento da teoria) e aplicá-los muitas vezes (prática constante), para se ter um excelente domínio da matéria.