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[Resolvido](UFJF) Geometria - Abóbada Semi-Esférica

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Mensagem por JoaoGabriel Sáb 27 Nov 2010, 07:39

Uma mesquita possui abóbada semi-esférica de 4m de raio, cujo centro dista 7 m do chão e 5 m das paredes laterais. A figura abaixo representa um corte em perfil, em que um menino (representado pela bolinha) , afastado 6 m da parede lateral, mirando em A, vê o ponto B na abóbada.

[Resolvido](UFJF) Geometria - Abóbada Semi-Esférica Capturar0

Considerando os olhos do menino a 1 m do chão e desprezando-se a espessura das paredes para o cálculo, a altura do ponto B ao chão é:



Gabarito:





PS : Desconsiderar a marcação cartesiana na figura, pois eu não consegui retirá-la por completo.
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Mensagem por Elcioschin Sáb 27 Nov 2010, 10:50

Desenhe um sistema xOy com origem no olho do menino e eixo X horizontal
Seja P o encontro do eixo X com o ponto da parede abaixo do ponto A

OP = 6
AP = 7 - 1 ----> AP = 6

Logo o triângulo APO é isósceles e a reta OAB forma um ângulo de 45º com o eixo X

Equação da reta OAB ----> y = x

Coordenadas do centro C da abóbada:

xC = OP + AC ----> xC = 6 + 5 ----> xC = 11
yC = AP ----> yC = 6

Equação da circunferência da abóbada com centro em C(11, 6) e raio R = 4:

(x - 11)² + (y - 6)² = 4² ----> No ponto de encontro x = y:

(y - 11)² + (y - 6)² = 16 ----> (y² - 22y + 121) + (y² - 12y + 36) = 16 ----> 2y² - 34y + 141 = 0

Discriminante ----> D = (-34)² - 4*2*141 ----> D = 28 -----> V(D) = 2*V7

y = (34 - 2*V7)/2*2 -----> y = (17 - V7)/2 m

Este valor é a distância vertical do ponto B aos olhos do garoto.
A distância pedida é do ponto B ao chão, logo, devemos adicionar mais 1 metro.

h = y + 1 ----> h = (17 - V7)/2 + 1 ----> h = (19 - V7)/2


Última edição por Elcioschin em Sáb 27 Nov 2010, 16:49, editado 1 vez(es)
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Mensagem por DouglasM Sáb 27 Nov 2010, 11:28

Elcio, o gabarito está correto, você só esqueceu de somar o metro que separa o olho do menino e o chão.

Um outro modo de resolver seria usar a lei dos cossenos no triângulo de vértices em A, B e no centro, encontrando o valor do lado AB (lembrando que o ângulo em A é de 45º). Finalmente bastaria encontrar a altura do triângulo e somá-la aos 7 metros do centro ao chão.
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Mensagem por luiseduardo Sáb 27 Nov 2010, 12:56

Questão legal.
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https://www.lcm.com.br/site/#/livros/detalhesLivro/simetria-de-c

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Mensagem por Elcioschin Sáb 27 Nov 2010, 16:46

Douglas

Distração minha. Se eu tivesse colocado a origem nos pés do garoto teria encontradao diretamente a resposta correta. Obrigado pela indicação do meu erro. Vou editar a mensagem original em vermelho.

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Mensagem por JoaoGabriel Dom 28 Nov 2010, 10:46

Obrigado aos dois, e eu creio que o método citado pelo Douglas seria o indicado para a resolução pois ainda não estudamos na escola equação da circunferência.
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Mensagem por Eduardo Jatobá Sáb 18 maio 2013, 09:17

É possível responder essa questão utilizando apenas Geometria Plana?

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Mensagem por Fhelipe Tristão Qui 29 Out 2015, 05:47

Por que não podemos usar o valor 5 + (raiz7)/2????

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Mensagem por Elcioschin Qui 29 Out 2015, 17:49

Fhelipe

Na minha solução não aparece este valor que você escreveu: 5 + (raiz7)/2.


Você não explicou que valor é este e como chegou nele. Por favor, explique.


Além disso, a figura não aparece mais, logo, não tenho como fazer uma análise, para te responder. Se você tiver a figura, por favor, cole-a no fórum, conforme:
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Mensagem por Elcioschin Qui 29 Out 2015, 17:51

Fhelipe

Na minha solução não aparece este valor que você escreveu: 5 + (raiz7)/2.

Você não explicou que valor é este e como chegou nele. Por favor, explique.

Além disso, a figura não aparece mais, logo, não tenho como fazer uma análise, para te responder. Se você tiver a figura, por favor, cole-a no fórum, conforme:

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