[Resolvido](UFJF) Geometria - Abóbada Semi-Esférica
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DouglasM
Elcioschin
JoaoGabriel
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(UFJF) Geometria - Abóbada Semi-Esférica
Uma mesquita possui abóbada semi-esférica de 4m de raio, cujo centro dista 7 m do chão e 5 m das paredes laterais. A figura abaixo representa um corte em perfil, em que um menino (representado pela bolinha) , afastado 6 m da parede lateral, mirando em A, vê o ponto B na abóbada.
Considerando os olhos do menino a 1 m do chão e desprezando-se a espessura das paredes para o cálculo, a altura do ponto B ao chão é:
Gabarito:
PS : Desconsiderar a marcação cartesiana na figura, pois eu não consegui retirá-la por completo.
Considerando os olhos do menino a 1 m do chão e desprezando-se a espessura das paredes para o cálculo, a altura do ponto B ao chão é:
Gabarito:
PS : Desconsiderar a marcação cartesiana na figura, pois eu não consegui retirá-la por completo.
JoaoGabriel- Monitor
- Mensagens : 2344
Data de inscrição : 30/09/2010
Idade : 28
Localização : Rio de Janeiro
Re: [Resolvido](UFJF) Geometria - Abóbada Semi-Esférica
Desenhe um sistema xOy com origem no olho do menino e eixo X horizontal
Seja P o encontro do eixo X com o ponto da parede abaixo do ponto A
OP = 6
AP = 7 - 1 ----> AP = 6
Logo o triângulo APO é isósceles e a reta OAB forma um ângulo de 45º com o eixo X
Equação da reta OAB ----> y = x
Coordenadas do centro C da abóbada:
xC = OP + AC ----> xC = 6 + 5 ----> xC = 11
yC = AP ----> yC = 6
Equação da circunferência da abóbada com centro em C(11, 6) e raio R = 4:
(x - 11)² + (y - 6)² = 4² ----> No ponto de encontro x = y:
(y - 11)² + (y - 6)² = 16 ----> (y² - 22y + 121) + (y² - 12y + 36) = 16 ----> 2y² - 34y + 141 = 0
Discriminante ----> D = (-34)² - 4*2*141 ----> D = 28 -----> V(D) = 2*V7
y = (34 - 2*V7)/2*2 -----> y = (17 - V7)/2 m
Este valor é a distância vertical do ponto B aos olhos do garoto.
A distância pedida é do ponto B ao chão, logo, devemos adicionar mais 1 metro.
h = y + 1 ----> h = (17 - V7)/2 + 1 ----> h = (19 - V7)/2
Seja P o encontro do eixo X com o ponto da parede abaixo do ponto A
OP = 6
AP = 7 - 1 ----> AP = 6
Logo o triângulo APO é isósceles e a reta OAB forma um ângulo de 45º com o eixo X
Equação da reta OAB ----> y = x
Coordenadas do centro C da abóbada:
xC = OP + AC ----> xC = 6 + 5 ----> xC = 11
yC = AP ----> yC = 6
Equação da circunferência da abóbada com centro em C(11, 6) e raio R = 4:
(x - 11)² + (y - 6)² = 4² ----> No ponto de encontro x = y:
(y - 11)² + (y - 6)² = 16 ----> (y² - 22y + 121) + (y² - 12y + 36) = 16 ----> 2y² - 34y + 141 = 0
Discriminante ----> D = (-34)² - 4*2*141 ----> D = 28 -----> V(D) = 2*V7
y = (34 - 2*V7)/2*2 -----> y = (17 - V7)/2 m
Este valor é a distância vertical do ponto B aos olhos do garoto.
A distância pedida é do ponto B ao chão, logo, devemos adicionar mais 1 metro.
h = y + 1 ----> h = (17 - V7)/2 + 1 ----> h = (19 - V7)/2
Última edição por Elcioschin em Sáb 27 Nov 2010, 16:49, editado 1 vez(es)
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
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Localização : Santos/SP
Re: [Resolvido](UFJF) Geometria - Abóbada Semi-Esférica
Elcio, o gabarito está correto, você só esqueceu de somar o metro que separa o olho do menino e o chão.
Um outro modo de resolver seria usar a lei dos cossenos no triângulo de vértices em A, B e no centro, encontrando o valor do lado AB (lembrando que o ângulo em A é de 45º). Finalmente bastaria encontrar a altura do triângulo e somá-la aos 7 metros do centro ao chão.
Um outro modo de resolver seria usar a lei dos cossenos no triângulo de vértices em A, B e no centro, encontrando o valor do lado AB (lembrando que o ângulo em A é de 45º). Finalmente bastaria encontrar a altura do triângulo e somá-la aos 7 metros do centro ao chão.
DouglasM- Iniciante
- Mensagens : 37
Data de inscrição : 22/02/2010
Idade : 33
Localização : RJ
Re: [Resolvido](UFJF) Geometria - Abóbada Semi-Esférica
Douglas
Distração minha. Se eu tivesse colocado a origem nos pés do garoto teria encontradao diretamente a resposta correta. Obrigado pela indicação do meu erro. Vou editar a mensagem original em vermelho.
Elcio
Distração minha. Se eu tivesse colocado a origem nos pés do garoto teria encontradao diretamente a resposta correta. Obrigado pela indicação do meu erro. Vou editar a mensagem original em vermelho.
Elcio
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: [Resolvido](UFJF) Geometria - Abóbada Semi-Esférica
Obrigado aos dois, e eu creio que o método citado pelo Douglas seria o indicado para a resolução pois ainda não estudamos na escola equação da circunferência.
JoaoGabriel- Monitor
- Mensagens : 2344
Data de inscrição : 30/09/2010
Idade : 28
Localização : Rio de Janeiro
Re: [Resolvido](UFJF) Geometria - Abóbada Semi-Esférica
É possível responder essa questão utilizando apenas Geometria Plana?
Eduardo Jatobá- Iniciante
- Mensagens : 1
Data de inscrição : 18/05/2013
Idade : 44
Localização : Natal - RN - Brasil
Re: [Resolvido](UFJF) Geometria - Abóbada Semi-Esférica
Por que não podemos usar o valor 5 + (raiz7)/2????
Fhelipe Tristão- Iniciante
- Mensagens : 1
Data de inscrição : 29/10/2015
Idade : 29
Localização : Curitiba
Re: [Resolvido](UFJF) Geometria - Abóbada Semi-Esférica
Fhelipe
Na minha solução não aparece este valor que você escreveu: 5 + (raiz7)/2.
Você não explicou que valor é este e como chegou nele. Por favor, explique.
Além disso, a figura não aparece mais, logo, não tenho como fazer uma análise, para te responder. Se você tiver a figura, por favor, cole-a no fórum, conforme:
Na minha solução não aparece este valor que você escreveu: 5 + (raiz7)/2.
Você não explicou que valor é este e como chegou nele. Por favor, explique.
Além disso, a figura não aparece mais, logo, não tenho como fazer uma análise, para te responder. Se você tiver a figura, por favor, cole-a no fórum, conforme:
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: [Resolvido](UFJF) Geometria - Abóbada Semi-Esférica
Fhelipe
Na minha solução não aparece este valor que você escreveu: 5 + (raiz7)/2.
Você não explicou que valor é este e como chegou nele. Por favor, explique.
Além disso, a figura não aparece mais, logo, não tenho como fazer uma análise, para te responder. Se você tiver a figura, por favor, cole-a no fórum, conforme:
https://pir2.forumeiros.com/f24-como-inserir-imagens-no-forum
Na minha solução não aparece este valor que você escreveu: 5 + (raiz7)/2.
Você não explicou que valor é este e como chegou nele. Por favor, explique.
Além disso, a figura não aparece mais, logo, não tenho como fazer uma análise, para te responder. Se você tiver a figura, por favor, cole-a no fórum, conforme:
https://pir2.forumeiros.com/f24-como-inserir-imagens-no-forum
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
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