Integrais duplas por integração polar

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Integrais duplas por integração polar

Mensagem por Daniel_nuba em Dom 22 Nov 2015, 19:33

Altura média de um cone. Encontre a altura média do cone (simples)  acima do disco  no plano xy.
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Daniel_nuba
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Re: Integrais duplas por integração polar

Mensagem por Giovana Martins em Sab 13 Out 2018, 18:41

Plotando o gráfico da função z=f(x,y) e a limitação x²+y²≤a² no espaço xyz, verificaremos o surgimento de um cilindro de altura "a" com um cone em seu interior. O volume do sólido compreendido entre o cilindro e o cone é dado por:

\\x=rcos(\theta)\ \wedge\ y=rsen(\theta)\ \therefore \ x^2+y^2=r^2\\\\x^2+y^2\leq a^2\ \to\ D(r,\theta)=\left \{ 0\leq r\leq a\ \wedge\ 0\leq \theta\leq 2\pi  \right \}\\\\\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}=\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\\\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix}\rightarrow \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}=r\\\\V=\underset{D(r,\theta)}{\int \int }z\left | \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)} \right |drd\theta=\int_{0}^{2\pi }d\theta\int_{0}^{a}\sqrt{r^2}|r|dr=2\pi \int_{0}^{a}|r|^2dr\\\\|r|=r,se\ r\geq 0\ \vee\ |r|=-r,se\ r<0\\\\ \ 0\leq r\leq a\ \therefore \ |r|=r\ \therefore \ V=2\pi \int_{0}^{a}r^2dr\rightarrow V=\frac{2\pi a^3}{3}


Desse modo, o volume do cone e sua altura média é dada, respectivamente, por:

\\V_C=\pi a^3-\frac{2\pi a^3}{3}\rightarrow V_C=\frac{\pi a^3}{3}\\\\\bar{h}=\frac{V_C}{A_{B_C}}\rightarrow \bar{h}=\frac{\frac{\pi a^3}{3}}{\pi a^2}\rightarrow \boxed {\bar{h}=\frac{a}{3}}

Nota: A resolução da questão não é inteiramente de minha autoria. De minha autoria, está expresso o cálculo do volume do sólido compreendido entre o cilindro e o cone e, consequentemente, o volume do cone. Entretanto, eu não sabia que a altura média de um cone era dada pela razão entre o seu volume e sua área da base, como foi indicado na resolução da colega Karina Lacerda no link a seguir.


Link: http://www.mat.unb.br/grad/aulas/cadernos_calculo/calculo3/b_e/exibe_exercicio.php?id=133
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Giovana Martins
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