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Lugar Geométrico03

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Mensagem por Jose Carlos Sáb 29 Ago 2009, 22:51

Dois dos vértices de um triângulo são os pontos fixos A(1,0) e B(5,0). Determinar a equação do lugar geométrico do terceiro vértice C se este se move de maneira que a diferença entre os comprimentos dos lados AC e BC é sempre igual à metade do comprimento do lado AB.

R: 3x²– 18x – y² + 25
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Mensagem por Medeiros Qua 02 Set 2009, 00:08

A=(1,0) e B=(5,0)
d(A,B) = 4
seja C=(x,y).

O lugar geométrico solicitado é uma hipérbole de 2 ramos, cujos focos são os pontos A e B.
Condição da hipérbole:
|CB – CA| = 2a
distância focal = 2c
c² = a² + b²

Temos
|CB – CA| = 4/2 = 2 ------> 2a = 2 ------> a=1
2c = 4 ------> c=2
então
c² = a² + b² ------> 2² = 1² + b² -------> b² = 3

O centro da hipérbole é o ponto médio do segmento AB -----> (3,0).
Em relação a esse ponto (tomado como origem), a equação da hipérbole é dada por:
(x-3)²/a² – (y-0)²/b² = 1
(x-3)²/1 – y²/3 = 1 ----------> (x-3)² – y²/3 = 1
ou
x² - 6x + 9 – y²/3 = 1 .......... (×3)
3x² - 18x + 27 – y² - 3 = 0 -----> 3x² - 18x + 24 – y² = 0

Essa hipérbole tem eixo real sobre o eixo das abscissas e eixo imaginário sobre a reta x=3.
O tamanho do eixo real é 2a, ou seja, é 2. Então a hipérbole corta o segmento AB nos pontos:
x1 = xA + (2c-2a)/2 -----> x1 = 1 + (4-2)/2 -----> x1 = 2 ==> ponto (2,0)
x2 = xB – (2c-2a)/2 -----> x2 = 5 – (4-2)/2 -----> x2 = 4 ==> ponto (4,0)

Para que exista o triângulo, esses pontos não servem para vértice C e devem ser retirados do lugar geométrico requerido. Então:

L.g. = {x,y pertencentes a R² | 3x²-18x+24-y²=0 e x≠2, x≠4 e y≠0}.
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Mensagem por Jose Carlos Qua 02 Set 2009, 10:23

Olá Claudio,

Como mencionei anteriormente preciso encontrar o livro de onde foram retiradas estas questões sobre lugar geométrico. Concordo com todas as soluções apresentadas por você com detalhes tão precisos. Prometo que tão logo seja possível os gabaritos serão revistos. Obrigado por mais esta ótima solução.

Um abraço.
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