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A Teoria Cinética: um resumo de demonstrações

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Mensagem por Christian M. Martins Sab 14 Nov 2015, 21:24

.    Sabendo como atuam os gases, pode-se equacionar diversas características de seu comportamento. Analisemo-as, portanto.



Energia cinética média das partículas do gás

   Para gases confinados em recipientes, é claro que a velocidade média das partículas é nula. É facilmente notado, contudo, que sua energia cinética não é, e que a mesma pode ser equacionada da seguinte forma; sendo N o número de partículas do gás e m a massa de cada uma dessas partículas (supondo que o gás seja perfeitamente homogêneo):




Velocidade quadrática média e sua raíz
 
   Apesar da média das velocidades serem nulas, podemos calcular seu valor eficaz - ou RMS (do inglês root mean square) -, que é a média dos quadrados das velocidades de cada partícula; assim como a raíz de tal média. Partindo da equação anterior e sendo a velocidade média quadrática, tem-se:



    E:



Equação Fundamental da Teoria Cinética

   Vamos analisar uma colisão ocorrida entre uma partícula e uma das faces de um recipiente como o da Figura 1 abaixo:

Figura 1 - Recipiente onde as partículas do gás hipotético se choca
A Teoria Cinética: um resumo de demonstrações Volume1
Fonte: PlatinumGMAT


   Do modelo de um gás perfeito, sabe-se que, quando uma partícula choca-se com alguma das faces do recipiente, sua colisão será perfeitamente elástica. Supondo que o choque seja perfeitamente perpendicular à face hachurada do recipiente, de forma que antes da colisão havia velocidade em apenas um dos eixos do sistema ortogonal (que diremos ser o eixo x), e que depois dela continuava havendo velocidade apenas nesse eixo - mas no sentido oposto da velocidade anterior ao choque -, pode-se dizer que:



   Contudo:



   Além disso:



   E:



   Então:


   
   É possível dizer que ∆t é o intervalo de tempo entre dois choques consecutivos da mesma partícula contra a mesma face do poliedro. Portanto:



   Voltando à equação anterior:



   Da definição de pressão, tem-se:



   Supondo que o poliedro apresentado seja cúbico, obtém-se:



   Mas, sendo Z o número de partículas por unidade de volume:



   Retornando à equação anterior, se adquire:



   Note ainda, que, sendo μ a massa específica do gás:



   E que, sendo v̄x a velocidade média quadrática da partícula no eixo x:



   Tem-se:



   Contudo, o gás é composto por diversas partículas, de forma que suas velocidades possibilitem a relação:



   Enfim:




A Temperatura na Teoria Cinética

   Partindo da equação Equação Fundamental da Teoria Cinética:



   Pela Equação de Clapeyron (Equação Geral dos Gases):



   Então:



   Além disso, sabendo-se que, sendo M a massa molar do gás:



   Pode-se dizer, por fim, que:




A energia interna de um gás monoatômico perfeito
   
   Como as partículas de um gás ideal não interagem entre si, tem-se que um gás monoatômico ideal não possuirá energia cinética de rotação nem energia potencial, possuindo, portanto, três graus de liberdade, de forma que sua energia interna seja proveniente da energia cinética de translação em torno dos três eixos de um sistema ortogonal. Disso, segue que sua energia interna U será dada por:



   Entretanto, descobriu-se acima que:



   Então:




O teorema da equipartição de energia e a energia interna de um gás diatômico ideal

   Ao contrário dos gases monoátomicos, os diatômicos possuem cinco graus de liberdade, sendo dois graus provenientes da rotação em torno de dois eixos do sistema ortogonal - a rotação em torno de um deles não é considerada em via da inércia de rotação em torno do eixo em questão, que coincide direcionalmente com a reta que intercepta o núcleo dos dois átomos constituintes da molécula do gás -, e outros três provindos da translação em torno dos três eixos do sistema ortogonal.
    O teorema da equipartição de energia afirma que a energia é divida igualmente entre cada um dos graus de liberdade. Assim, como a equação anteriormente descoberta informava a energia interna em três graus de liberdade, é claro que em cada um deles a energia será:



   Enfim, a energia interna de um gás diatômico será:



   Contudo, pode-se, ainda, levar em conta um outro grau de liberdade: o da vibração. Assim, a energia interna será dada por:




A energia cinética média molecular

   Para calcular a energia cinética média de cada molécula - ou, em caso de gases monoatômicos, átomo -, Ecmm, pode-se partir da seguinte afirmação, onde x depende do número de graus de liberdade do gás em questão:



   Pode-se dizer, que, sendo A a constante de Avogadro:



   Então:



   Mas, sendo k a constante de Boltzmann:



    Então, por fim:








Figura 1 - Disponível em: http://www.platinumgmat.com/global/images/study_guide/volume1.gif?v=1 Acesso em nov. 2015.


Última edição por Christian M. Martins em Dom 15 Nov 2015, 01:46, editado 2 vez(es)
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Mensagem por Thálisson C Sab 14 Nov 2015, 23:33

@Christian M. Martins escreveu:. Ao contrário dos gases monoátomicos, os diatômicos possuem cinco graus de liberdade, sendo dois graus provenientes da rotação em torno de dois eixos do sistema ortogonal - a rotação em torno de um deles não é considerada em via da inércia de rotação em torno do eixo em questão, que coincide direcionalmente com a reta que intercepta o núcleo dos dois átomos constituintes da molécula do gás

Isso não é verdade. Se tem a impressão que por a rotação de uma molécula diatômica, no eixo que contém os seus núcleos, ter um baixo momento de inércia, ali não haverá um grau de liberdade quadrático. 

O real motivo não é esse, e sim quântico e foge dos méritos do ensino médio. 

Essas demonstrações já foram feitas nesta sessão por mim e por outros membros. Não vejo porquê repeti-las.

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Mensagem por Christian M. Martins Sab 14 Nov 2015, 23:50

Cheguei até a procurar, Thálisson, mas não achei. Se quiser deletar o tópico, sem problemas!

Essa explicação deve ter sido dada, por onde estudei, por mera didática, então. Pensei estar certo. Very Happy
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Mensagem por Thálisson C Dom 15 Nov 2015, 00:04

Não, não. Ficou muito bom e está de parabéns. 

Você sintetizou muito bem todos os conteúdos já abordados e escreveu um ótimo texto! Merece virar PDF, haha.

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Mensagem por Christian M. Martins Dom 15 Nov 2015, 00:13

Valeu! Very Happy

Vou dar uma pesquisada mais a fundo a respeito do motivo da rotação em um dos eixos ser desconsiderada no cálculo da energia interna do gás, assim eu compreendo melhor e atualizo com dados corretos.

Vou tomar mais cuidado da próxima vez que postar uma demonstração: dessa vez eu cheguei a dar uma procurada para ver se tinha algo a respeito do tema, mas a falta de atenção fez com que eu deixasse passar.
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