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Mensagem por ALDRIN Sex 28 Ago 2009, 14:20

Considere o problema:
"Francisco aniversariou em 2 de fevereiro de 2002. O número de anos que completou era igual à soma dos algarismos do ano em que nasceu. Em que ano nasceu Francisco"
Quantas são as soluções desse problema?

(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) Mais que 3.
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Mensagem por Euclides Sex 28 Ago 2009, 15:15

Primeiro vamos admitir que aniversariando em 2002, Francisco tenha nascido depois de 1900, ou seja, não tenha vivido mais que qualquer ser humano normal.

Em segundo luigar uma solução é claramente visível:

- Nascer em 2000 (soma 2) e fazer 2 anos en 2002.

Vamos buscar outras:

"O número de anos que completou era igual à soma dos algarismos do ano em que nasceu"

2002-(1900+10a+b)=10+a+b
92=11a+2b

sendo a e b algarismos entre 0 e 9 temos:

1- o maior valor de 2b é 18, portanto o menor valor de a será maior que 7
2- o maior valor de 11a é 88 e portanto o maior valor de a será 8

de 1 e 2 chegamos que a tem de ser 8 e assim b=2

O ano será 1982 cuja soma dos algarismos é 20 idade que completa em 2002.

A questão deve ter apenas duas soluções.

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Mensagem por Paulo Testoni Sex 28 Ago 2009, 15:25

Hola Aldrin.

Ano do nascimento de Francisco = [19xy]

[2002] - [19xy] = 1 + 9 + x + y

2002 - 1900 - 10x - y = 10 + x + y

11x + 2y = 92 ---> Equação diofantina

y = (92 - 11x)/2 -----> y = 46 - 5x - x/2

fazendo t = x/2 -----> t, é inteiro ----> x = 2t

y =[92 - 11(2t)]/2 ----> y = 46 - 11t

0 =< y < 10 ----> 0 =< 46 - 11t < 10 ----> - 46 =< -11t < - 36 ----> 46/11 >= t > 36/11 ----> 4,18 >= t > 3,27

Como t é inteiro -----> t = 4 ----> x = 8 ----> y = 2

Ano do nascimento = 1982 ----> 1 + 9 + 8 + 2 = 20 ----> 1982 + 20 = 2002

Eu supuz, indevidamente que ele tinha nascido nos anos 1900.
Acontece que ele também poderia ter nascido nos anos 2000 (2000, 2001 ou 2002).

Para resolver a questão precisamos de uma nova diofantina:

[2002] - [200z] = 2 + 0 + 0 + z

2002 - 2000 - z = 2 + z

2 - z = 2 + z

2z = 0

z = 0

Pronto: Diofanto resolveu também esta equação (só que de forma mais simples sem usar incógnitas auxiliares)

Assim o problema tem duas soluções ----> 1982 ou 2000 ----> Alternativa C

De acordo com o nosso amigo Elcio Fonseca
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