Funções Contínuas
   Estudo dos sinais de uma função contínua


Por: Euclides

 

Resolvendo uma inequação

Vamos supor que você se encontre em situação de ter de resolver uma inequação do tipo:

Em que f(x) e g(x) sejam duas funções dadas, com domínio e imagem no campo Real.

De antemão podemos avaliar que o quociente entre dois valores reais só será negativo se os sinais desses números forem opostos, ou seja,

O quociente então será negativo em todos os intervalos em que as funções exibirem sinais opostos. Se pudermos conhecer os sinais de cada uma delas ao longo do seu domínio, estaremos aptos a encontrar a solução da nossa inequação.



Estudando os sinais de uma função contínua

o gráfico ao lado mostra uma função que corta o eixo horizontal em x=2.

Para valores de x<2 o gráfico se situa abaixo do eixo horizontal e para valores de x>2, o gráfico está acima do eixo horizontal.

Em outras palavras:

para x<2   →  y<0

para x=2   →  y=0

para x>2  →  y>0

Este é o estudo dos sinais de uma função simples. Vamos examinar uma outra função conhecida:


Ao lado temos o gráfico de uma parábola que exprime a função do segundo grau

Esta parábola tem a concavidade voltada para cima e corta o eixo horizontal nos pontos x=0 e x=6.

Podemos ver que entre as suas raízes o gráfico da função assume valores negativos e externamente às raízes os valores são positivos.

Uma função do terceiro grau nos mostrará coisa semelhante.

Aqui, porém, a função tem duas concavidades e o seu sinal se comporta de maneira diferente em cada uma delas.

Uma parábola com a concavidade voltada para baixo também terá comportamento oposto ao da parábola que tem a concavidade voltada para cima.

Se conhecermos a função com certa intimidade isso pode ser avaliado rapidamente, porém, em caso de dúvida isso deve ser avaliado com segurança. Para isso vamos buscar base conceitual mais sólida.
Observe que se uma função é contínua, para ela transitar de um valor positivo para um valor negativo, ou vice-versa, será necessário cruzar o eixo horizontal, isto, é deve assumir um valor igual a zero em algum ponto nesse intervalo. Isso equivale a dizer:

Uma função contínua não muda de sinal entre dois zeros (raízes) consecutivos.

De uma maneira mais matemática:

Se f(x) é contínua e [a, b] é um intervalo de seu domínio tal que f(a).f(b)<0 então

Se f(x) é contínua e a e b são duas raízes consecutivas então

Essa conclusão é importante, como veremos a seguir. Vai nos facilitar a avaliação dos sinais de uma função. Retomemos, como modelo, o gráfico da função do terceiro grau:

Cujas raízes ou zeros são -2, 4 e 6. Olhando para a expressão não podemos ter certeza do seu comportamento quanto aos sinais. Mas já temos a certeza de que entre duas raízes consecutivas o sinal não muda.

Uma técnica para o estudo dos sinais consiste em marcar os zeros da função numa reta numérica e que, por semelhança visual, é chamada muitas vezes de “Técnica do Varal”.


Para conhecer o sinal em qualquer trecho do varal podemos atribuir à função um valor pertencente ao intervalo que queremos avaliar.



Marcamos no “varal”





Concluindo o processo teremos



ou, mais apropriadamente, numa reta numérica:



O mesmo que já havia sido verificado visualmente no gráfico




Resolvendo uma inequação

com essa técnica podemos resolver inequações do tipo



que são inequações produto ou quociente. Seja a inequação abaixo:

Temos aí um quociente entre duas funções e desejamos saber para quais valores de x esse quociente resulta negativo.

       1-      Já sabemos que isso ocorrerá nos intervalos em que as funções tenham sinais opostos.

       2-      Já sabemos como analisar os sinais das funções no seu domínio

Encontrando as raízes:

Construímos um “varal” (reta numérica) para cada uma delas, que podemos organizar como um quadro de sinais:

o quadro completa o estudo dos sinais e podemos responder

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