Produto Vetorial

Vetores são uma outra ordem de grandezas além dos escalares. Já sabemos que essa ordem de grandezas, além de um módulo (sua parte escalar) também possui duas outras propriedades: a direção e o sentido. Enquanto escalares são adimensionais, vetores podem ser bidimensionais ou tridimensionais. Se lidarmos com espaços de dimensão superior a 3 entraremos no mundo dos Tensores, grandezas empregadas em física teórica avançada.

Notação

A notação $\overrightarrow{u}$ designa um vetor, enquanto $|\overrightarrow{u}|$ designa o seu módulo.

No plano os vetores podem ser representados como coordenadas polares, ou pares cartesianos:

$\overrightarrow{u}=(r,\,\theta)$ é um vetor indicado pelo seu módulo e o ângulo que forma no sentido anti-horário com o eixo horizontal.

$\overrightarrow{u}=(x_0,\,y_0)$ é um vetor indicado pelas coordenadas de sua extremidade, sendo sua origem coincidente com a origem dos eixos.

Outra forma bastante útil de notar vetores é considerarmos vetores unitários na direção e sentido dos eixos coordenados:

Outra forma bastante útil de notar vetores é considerarmos vetores unitários na direção e sentido dos eixos coordenados

$\overrightarrow{i}$ na direção e sentido de $x$
$\overrightarrow{j}$ na direção e sentido de $y$
$\overrightarrow{k}$ na direção e sentido de $z$

assim, $a\overrightarrow{i}$ em que $a$ é um escalar, é um vetor de módulo $a$ na direção e sentido de $\overrightarrow{i}\to(x)$ se $a>0$ e com sentido oposto se $a<0$

Exemplo: $\overrightarrow{u}=x_0\overrightarrow{i}+y_0\overrightarrow{j}$ indica um vetor cujo módulo é dado por $|\overrightarrow{u}|=\sqrt{x_0^2+y_0^2}$ (veja a figura anterior)

a figura 2, acima, mostra tres vetores no plano. Os tres vetores representados são chamados equipolentes e podem ser igualmente notados por $\overrightarrow{v}=1\overrightarrow{i}+1\overrightarrow{j}$ .

Tudo o que foi dito até aqui é extensivo ao espaço tridimensional.

Produto Escalar ou Produto Interno

Define-se produto escalar entre dois vetores $\overrightarrow{u}=(x_0,\,y_0,\,z_0)\,\,e\,\,\overrightarrow{v}=(x_1,\,y_1,\,z_1)$ como o escalar real

$u.v=x_0.x_1+y_0.y_1+z_0.z_1$

O produto escalar entre dois vetores pode ser escrito também como: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|.cos\theta$ sendo $\theta$ o ângulo entre eles.

Produto Vetorial ou Produto Externo

O produto externo entre dois vetores $\overrightarrow{u}\,\,e\,\,\overrightarrow{v}$ é um vetor perpendicular ao plano que contem os dois vetores que se multiplicam.

Sejam os vetores $\overrightarrow{u}=(x_0,\,y_0,\,z_0)\,\,e\,\,\overrightarrow{v}=(x_1,\,y_1,\,z_1)$

o seu produto vetorial será dado por:

Também poderemos escrever o produto vetorial em função do ângulo entre os vetores como

$|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|=|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|.sen\theta$

Dissemos que o produto vetorial entre dois vetores será um terceiro vetor que é perpendicular ao plano dos dois outros. O sentido do vetor produto é dado pela regra da mão direita:

fechando os dedos no sentido do produto, o polegar indicará o sentido do vetor resultante. Note. portanto que

.

Em física do nível médio, o produto vetorial será muito usado ao estudarmos o eletromagnetismo. Em geometria o produto vetorial poderá representar áreas de paralelogramos ou triângulos:

(euclides - fórum PiR2)