Pendulo composto - Parte II

3.1 Centro de massa de um sistema de partículas

A exemplo do raciocínio intuitivo para encontrar o centro de massa de duas pequenas esferas idênticas podemos estender e completar o método analítico para resolver o problema em qualquer situação.

Num caso geral a posição do CM corresponderá a uma média ponderada entre as posições dos CMs de cada partícula e suas massas.

Agora já poderemos retornar ao pêndulo que estávamos examinando.

A figura abaixo mostra como podemos calcular a posição do centro de massa de um pêndulo composto em relação ao seu eixo de giro orientando um eixo a partir desse ponto.

$x_{CM}=\frac{mx_2+Mx_1}{M+m}=\frac{\frac{mL}{2}+M(L+r)}{M+m}$

4. O Período do pêndulo composto

Assim como o pêndulo simples, o composto executa um MHS para pequenas oscilações, cujo período será dado por:

$T=2\pi\sqrt{\frac{I_0}{mgd}}\,\;\;\,em\,\,que\;\;\;\begin{cases}I_0=\text{momento de inércia em relação ao eixo de giro}\\m=\text{massa total do pêndulo}\\g=\text{aceleração da gravidade}\\d=\text{distância do CM ao eixo de giro}\end{cases}$

Se considerarmos um pêndulo simples cujo comprimento seja

$L=\frac{I_0}{md}\;\;\text{ de forma que: }T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

podemos perceber que existirá, para cada pêndulo composto, um pêndulo simples que bate o mesmo período. O comprimento assim obtido fornece a posição do Centro de Oscilação do pêndulo composto.

5. O Momento de Inércia de um Pêndulo Composto

Consideremos um pêndulo composto por uma haste fina e um disco, como mostra a figura abaixo:

Pelo que vimos na Dinâmica da Rotação já sabemos que o momento de inércia do pêndulo em relação ao eixo de giro será igual à soma dos momentos de inércia da haste e do disco em relação ao mesmo eixo.

Na tabela fornecida naquela página podemos encontrar os momentos de inércia do disco e da haste em relação a um eixo perpendicular que passe pelos seus centros:

$I_h=\frac{1}{12}mL^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I_d=\frac{1}{2}Mr^2$

O Teorema de Steiner (ou Teorema dos Eixos Paralelos) ensina que o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo paralelo ao eixo que passa pelo seu centro de massa é dado por

$I_0=I_{CM}+mx^2$

em que $x$ é a distância do centro de massa ao eixo escolhido. Com isso podemos calcular o momento de inércia do pêndulo acima:

$I_0=I_{h_0}+I_{d_0}\;\;\;\to\;\;I_0=\frac{mL^2}{12}+\frac{mL^2}{4}+\frac{Mr^2}{2}+M(L+r)^2$

$I_0=I_{h_0}+I_{d_0}\;\;\;\to\;\;I_0=\frac{mL^2}{3}+\frac{M\left (r^2+2(L+r)^2 \right )}{2}$

e a distância do CM ao eixo será, como já se viu

$d=\frac{\frac{mL}{2}+M(L+r)}{M+m}$