Poderoso Lema
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Poderoso Lema
sejam a,b e c números reais não nulos(com soma não nula) tais que:
1/a + 1/b + 1/c= 1/(a+b+c).
Prove que também se verifica:
1/a^2015 + 1/b^2015 + 1/c^2015 = 1/(a^2015+b^2015+c^2015).
Disseram-me que se resolvia por essa fórmula : a²/x + b²/y + c²/z=(a+b+c)²/x+y+z(poderoso lema)
Alguém poderia me ajudar? Obrigado.
1/a + 1/b + 1/c= 1/(a+b+c).
Prove que também se verifica:
1/a^2015 + 1/b^2015 + 1/c^2015 = 1/(a^2015+b^2015+c^2015).
Disseram-me que se resolvia por essa fórmula : a²/x + b²/y + c²/z=(a+b+c)²/x+y+z(poderoso lema)
Alguém poderia me ajudar? Obrigado.
Condensador- Padawan
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Idade : 24
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Re: Poderoso Lema
(1/a + 1/b + 1/c) = (ab + ac + bc)/(abc) = 1/(a + b + c)
(a + b + c)(ab + ac + bc) = abc
(a + b + c).a.(b + c) + (a + b + c).bc = abc
(a + b + c).a.(b + c) + (a + b + c - a).bc = 0
(a + b + c).a.(b + c) + (b + c).bc = 0
(b + c)(a² + ab + ac + bc) = 0
(b + c)(a.(a + b) + c.(a + b)) = 0
(a + b).(a + c).(b + c) = 0
a = -b ou a = -c ou b = -c
Se a = -b:
Agora nos casos em que a = -c e b = -c se fazem usando a mesma ideia chegando sempre em:
(a + b + c)(ab + ac + bc) = abc
(a + b + c).a.(b + c) + (a + b + c).bc = abc
(a + b + c).a.(b + c) + (a + b + c - a).bc = 0
(a + b + c).a.(b + c) + (b + c).bc = 0
(b + c)(a² + ab + ac + bc) = 0
(b + c)(a.(a + b) + c.(a + b)) = 0
(a + b).(a + c).(b + c) = 0
a = -b ou a = -c ou b = -c
Se a = -b:
Agora nos casos em que a = -c e b = -c se fazem usando a mesma ideia chegando sempre em:
fantecele- Fera
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Data de inscrição : 14/09/2014
Idade : 27
Localização : Nova Venécia-ES, Brasil
Re: Poderoso Lema
Uma outra prova óbvia
Fazendo x = a2015, y = b2015, z = c2015
1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z)
1/a2015 + 1/b2015 + 1/c2015 = 1/(x2015 + y2015 + z2015)
Fazendo x = a2015, y = b2015, z = c2015
1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z)
1/a2015 + 1/b2015 + 1/c2015 = 1/(x2015 + y2015 + z2015)
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71605
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Poderoso Lema
Aaaa sim, tem esse caminho também, na hora que eu estava digitando ali eu tinha visto que no lado direito tava 1/(a+b+c)^2015, não sei como kkk, mas depois que reparei, já tinha digitado tanta coisa, deu pena de apagar, mas fica ai uma maneira de resolver caso o exercício pedisse para mostrar que 1/a^2015 + 1/b^2015 + 1/c^2015 = 1/(a+b+c)^2015, é praticamente aquilo ali que eu fiz, porém no final deve chegar em 1/(a+b+c)^2015.
fantecele- Fera
- Mensagens : 1217
Data de inscrição : 14/09/2014
Idade : 27
Localização : Nova Venécia-ES, Brasil
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