Poderoso Lema

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Poderoso Lema

Mensagem por Condensador em Qui 15 Out 2015, 23:23

sejam a,b e c números reais não nulos(com soma não nula) tais que:
 1/a + 1/b + 1/c= 1/(a+b+c).

Prove que também se verifica:


1/a^2015 + 1/b^2015 + 1/c^2015 = 1/(a^2015+b^2015+c^2015).
Disseram-me que se resolvia por essa fórmula :  a²/x + b²/y + c²/z=(a+b+c)²/x+y+z(poderoso lema)
Alguém poderia me ajudar? Obrigado.
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Re: Poderoso Lema

Mensagem por fantecele em Qui 20 Dez 2018, 15:45

(1/a + 1/b + 1/c) = (ab + ac + bc)/(abc) = 1/(a + b + c)
(a + b + c)(ab + ac + bc) = abc
(a + b + c).a.(b + c) + (a + b + c).bc = abc
(a + b + c).a.(b + c) + (a + b + c - a).bc = 0
(a + b + c).a.(b + c) + (b + c).bc = 0
(b + c)(a² + ab + ac + bc) = 0
(b + c)(a.(a + b) + c.(a + b)) = 0
(a + b).(a + c).(b + c) = 0

a = -b ou a = -c ou b = -c

Se a = -b:



Agora nos casos em que a = -c e b = -c se fazem usando a mesma ideia chegando sempre em:


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Re: Poderoso Lema

Mensagem por Elcioschin em Qui 20 Dez 2018, 17:48

Uma outra prova óbvia

Fazendo x = a2015, y = b2015, z = c2015

1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z)

1/a2015 + 1/b2015 + 1/c2015 = 1/(x2015 + y2015 + z2015)
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Re: Poderoso Lema

Mensagem por fantecele em Sex 21 Dez 2018, 00:15

Aaaa sim, tem esse caminho também, na hora que eu estava digitando ali eu tinha visto que no lado direito tava 1/(a+b+c)^2015, não sei como kkk, mas depois que reparei, já tinha digitado tanta coisa, deu pena de apagar, mas fica ai uma maneira de resolver caso o exercício pedisse para mostrar que 1/a^2015 + 1/b^2015 + 1/c^2015 = 1/(a+b+c)^2015, é praticamente aquilo ali que eu fiz, porém no final deve chegar em 1/(a+b+c)^2015.

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Re: Poderoso Lema

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