Buraco na esfera

Alguns problemas de geometria são curiosos: parece que faltam dados para resolver, e, quando se conhece a resposta é uma surpresa total. Vejam este

Tem-se uma esfera maciça.
Faz-ze um furo circular na esfera, com uma broca, passando exatamente pelo seu centro (por exemplo um furo no planeta Terra indo do polo norte ao polo sul).
A distância entre os círculos do " buraco cilíndrico" das duas extremidades vale h = 6 cm.
Qual é o volume restante da esfera?

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Olá,Elcioschin.

Fazendo um pouco de conta pode se chegar a resposta, porém vamos resolver pensando da seguinte maneira:

Como não é dado o diâmetro do cilindro ou melhor da broca, vamos imaginar que ela seja tão fina de tal maneira que o seu diâmetro coincida com o diâmetro da esfera, ou seja, que altura do cilindro coincida com o diâmetro da esfera.Dessa maneira o volume restante será igual ao volume da esfera.

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Solução perfeita.

Na verdade, você usou o conceito de Limite, matéria do curso Superior dentro da disciplina Cálculo Diferencial e Integral.

Como você bem observou, o problema poderia ser resolvido algebricamente.
Poderia também ser resolvido através de Cálculo Integral.

Vejam que a solução INDEPENDE do volume da esfera original: poderia ser o planeta Terra ou uma melancia, ou mesmo uma laranja (desde que o seu diâmetro seja igual ou maior do que 6 cm).

Olá, Mestre Elcio.
Não entendi essa parte:

Vejam que a solução INDEPENDE do volume da esfera original: poderia ser o planeta Terra ou uma melancia, ou mesmo uma laranja (desde que o seu diâmetro seja igual ou maior do que 6 cm).

Por que essa restrição de ser maior ou igual a 6 cm, se o diametro (ou a altura do cilindro) fosse igual a 2 cm, logo esse modelo de solução de Tavares não seria satisfatório?

Abraços

Vinicius

A solução do Adriano é SEMPRE válida, qualquer que seja o diâmetro D da esfera e qualquer que seja o diâmetro d do furo (desde que d =< D).

Note que fazendo o furo são removidas duas calotas e um cilindro de diâmetro d e altura H ----> H =< D

O dado importante para a solução é a altura H do furo, entendendo-se por altura a distância entre as duas bases circulares do furo.

Como o enunciado diz que H = 6 cm, isto só pode acontecer se a esfera tiver D >= 6, senão o problema seria impossível.

Por conta disso é que o Adriano fez d tender para zero (d ---> 0) e H tender a D (H ----> D) e resolveu o problema de maneira simples e elegante.

Como ficaria a solução algébrica?

Gostei muito!!!

Sempre será H^2 x PI ?

Abraços...

Sejam

R = raio da esfera de centro O
r = raio do furo cilíndrico
H = altura do cilindro (H = 6)
h = altura de cada calota

h = (2R - H)/2 ----> h = R - H/2

R² = r² + (H/2)² ----> r² = R² - H²/4

Volume da esfera ----> Ve = (4/3)*pi*R³

Volume do cilindro ----> Vc = pi*r²*H

Volume de cada calota ----> Vt = (pi/6)*h*(3r² + h²)

Volume retande da esfera ----> V = Ve - Vc - 2*Vt

Basta agora substituir, na última fórmula e simplificar, obtendo no final:

V = (pi/6)*H³ -----> V = (pi/6)*6³ ----> V = 36pi

Vlw Elcioschin.