(UFBA) Velocidade relativa e álgebra

Um barco vai de Manaus até Urucu descendo um rio e, em seguida, retorna à cidade de partida, conforme esquematizado na figura: (meramente ilustrativa, não influi na resolução da questão).

A velocidade da correnteza é constante e tem módulo Vc em relação às margens.
A velocidade do barco em relação à água é constante e tem módulo Vb.
Desconsidernado-se o tempo gasto na manobra para voltar, a velocidade escalar média do barco, em relação às margens, no trajeto total de ida e volta tem módulo dado por:

a) (Vb+Vc)/2
b) (Vb-Vc)/2
c) sqroot(VbVc)
d) (Vb²+Vc²)/Vb
e) (Vb²-Vc²)/Vb

Gabarito:

Eu vi a resolução do exercício e, nela, substitui-se T1 (primeiro intervalo de tempo, o de descida, junto com a correnteza) e T2 (segundo intervalo de tempo, o de subida, contrário à correnteza), por meio de um sistema.

Apesar de entender a matéria e a álgebra utilizada, raramente consigo manipular as equações para chegar aos resultados desejados. O que eu estava fazendo, por exemplo, era a substituição da distância percorrida ao invés do tempo que levou para percorrer a distância. Minha dúvida é: como eu sei qual valor devo substituir? Existe algum padrão para a manipulação das equações, de forma que eu atinja o resultado? Ou simplesmente vamos "tentando até achar"?

Digamos que ao descer a correnteza tem velocidade com mesma direção e sentido de Vb e que a descida tem S metros. Assim:

VB+VC = S / T1

Ao subir ele terá velocidade contrária à correnteza. Então:
VB - VC = S / T2

A velocidade média é dada pela fórmula Vm = ∆S / T total

Portanto:



Letra E

Mas Kaiene, como você sabia que tinha que substituir T?

Não entendi muito bem sua pergunta...
Substituir o S não daria em nada. O Ttotal ( T1 + T2) possui como incógnita Vb e Vc ( que tem nas respostas) e S.. Esse tipo de exercício, em que os deslocamentos são iguais, diferindo o tempo, se resolve dessa maneira.

Agora sim. Obrigadaço, sempre tive dúvida nisso!

Mas S também possui como incógnita Vb e Vc.

(Vb+Vc)t1 = S (em caso de subida);
(Vb-Vc)t2 = S (em caso de descida).

Se você substituir o S, não terá como eliminar T1 nem T2. Mas se substituir os tempos, irá "cortar" o S e achará a expressão mais simplificada, na forma que o exercício pede.

Aí que tá o problema: quando surgirem outras variedades desse tipo de que estão (que envolvam outras incógnitas), como deduzir qual das substituições dará um resultado em que é possível "cortar" uma incógnita com a outra e, qual das substituições dará um resultado em que não é possível "cortá-las"?