(ITA) Valores de z que satisfazem a equação

por Carolziiinhaaah Qui 11 Nov 2010, 19:25

Seja a um número real. Os valores de $z\; \epsilon \; C$ que satisfazem: $\left ( \frac{a + z^{10}}{1+i} \right ).\left ( \frac{a+(\bar{z})^{10}}{1-i} \right )\; \epsilon \; R$ são:

a) $z = -a + i \sqrt[10]{|a|}.$
b) Não é possível determiná-los.
c) $z = -i \sqrt[10]{|a|}.$
d) Não existe $z\; \epsilon \; C$ tal que isto aconteça.
e) Todo $z\; \epsilon \; C$

por **Elcioschin** Qui 11 Nov 2010, 21:38

O denominador é real ----> (1 + i)*(1 - i) = 1 - i² = 1 + 1 = 2

Basta portanto, estudar o numerador:

Seja z = cosx + isenx ----> z' = cosx - isenx ----> z' = z conjugado

y = [a + (cosx + isenx)^10]*[a + (cosx - isenx)^10]

y = [a + (cos10x + isen10x)]*[a + (cos10x - isen10x)]

y = [(a +cos10x) + isen10x]*[(a + cos10x) - isen10x]

y = (a + cos10x)² - (isen10x)²

y = (a + cos10x)² + (sen10x)²

y = a² + 2acos10x + cos²10x + sen²10x

y = a² + 2acos10x + 1 ----> y é real

Logo, a expressão é SEMPRE real ----> Alternativa E

por Carolziiinhaaah Sex 12 Nov 2010, 19:47

Elcio

aqui: y = a² + 2acos2x + cos²10x + sen²10x não seria y = a² + 2acos10x + cos²10x + sen²10x ?
e aqui: y = a² - 2acos10x + 1 isso: y = a² + 2acos10x + 1 ?

o resto eu entendi perfeitamente, obrigada! Wink