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Quadriláteros - Verdadeiro ou falso

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Mensagem por Kulo Sáb 5 Set - 14:01

Gostaria de saber o porquê das seguintes afirmativas sobre quadriláteros serem falsas:

a) Se as diagonais de um quadrilátero são perpendiculares, então elas são bissetrizes dos ângulos dele.
b) Se as diagonais de um quadrilátero são congruentes e perpendiculares, então ele é um quadrado.


Se um quadrilátero possui diagonais perpendiculares, então ele é um losango, certo? E as diagonais de um losango são bissetrizes de seus ângulos (pode-se provar por congruência de triângulos). Então por que a letra A estaria falsa?
E no segundo caso, o quadrilátero que possui diagonais congruentes é o retângulo, enquanto que o que possui diagonais perpendiculares é o losango, então estaria correta ao meu ver, já que o quadrado realmente possui diagonais perpendiculares e congruentes.

A questão considerou como verdadeiras as seguintes afirmativas:

*As diagonais de um quadrado são bissetrizes de seus ângulos e são perpendiculares.
*Se as diagonais de um quadrilátero são bissetrizes de seus ângulos, então ele é um losango.
*Se as diagonais de um quadrilátero são bissetrizes e congruentes, então ele é um quadrado.
*Se uma diagonal de um quadrilátero é bissetriz dos dois ângulos, então ela é perpendicular a outra diagonal.

OBS: Questão 239 retirada do livro Fundamentos da Matemática Elementar (Vol. 9) - Geometria Plana
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Mensagem por Elcioschin Sáb 5 Set - 20:27

Se um quadrilátero possui diagonais perpendiculares, ele pode ser um

a) quadrado
b) losango
c) trapézio retângulo c/ diagonais perpendiculares --> neste caso as diagonais não são bissetrizes!


Última edição por Elcioschin em Qua 13 Mar - 21:18, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Kulo Dom 6 Set - 1:30

Eu não sabia que existiam trapézios retângulos com diagonais perpendiculares... Sabe me dizer os valores dos ângulos? Obrigado, Elchioschin
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Mensagem por Elcioschin Dom 6 Set - 10:32

Eis o desenho.
Dá para calcular os ângulos BÂD e A^DC em função de B, b, h
Esta demonstração já foi feita no fórum mas não sei como localizar.

Quadriláteros - Verdadeiro ou falso 29favz6
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Mensagem por Kulo Dom 6 Set - 15:10

Está certo, Elchioschin. Obrigado pela ajuda. Foi muito útil mesmo. Quando vou avaliar as afirmativas sobre quadriláteros eu sempre desconsidero o trapézio... É inevitável. Abraço.
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Mensagem por Ada Augusta Qua 13 Mar - 12:59

A respeito da afirmativa b:

"Se as diagonais de um quadrilátero são congruentes e perpendiculares, então ele é um quadrado."


Não é possível que um trapézio tenha essas características de diagonal?
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Mensagem por Elcioschin Qua 13 Mar - 17:38

Sim, é possível; e por isto a afirmação é falsa!

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Mensagem por Ada Augusta Qua 13 Mar - 20:01

Estava incerta exatamente a respeito dos ângulos. Obrigada!
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Mensagem por Medeiros Qui 14 Mar - 22:59

O quadrilátero com diagonais perpendiculares e congruentes nem precisa ser um trapézio (embora os haja), pode ser um quadrilátero convexo qualquer.

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Nossa! Estou no celular e fotografei um pedacinho de papel mas acho que a figura ficou enorme.
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