Decimais finitos ou infinitos periódicos

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Mensagem por lorramrj em Qui 20 Ago 2015, 21:54

Olá galera, tenho uma dúvida:
Aprendi que frações irredutíveis sendo equivalente a uma fração decimal gera uma expansão decimal finita.

Também, que uma fração irredutível é equivalente a uma fração decimal quando seu denominador não tem fatores primos diferentes de 2 e 5.

Já frações irredutíveis que apresentam no denominador números primos diferentes de 2 e 5, tem como expansão decimal uma dízima periódica infinita.

Portanto, dividindo-se dois inteiros quaisquer, a representação decimal obtida é sempre finita ou infinita, mas periódica.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Porém, uma questão me pergunta se os números 0,1234567 e 16909/136963 são iguais:

Pelo meu raciocínio - segundo a teoria - esse denominador com certeza apresenta fatores primos diferentes de 2 e 5, portanto, sua expansão decimal vai ser uma infinita periódica.

Mas testando isso na calculadora com precisão de 15 casas decimais obtive como resultado dessa divisão:

16909/136963 = 0,123456699984667

Minha dúvida é o seguinte:

A calculadora apresentou apenas a parte da dízima infinita, então, certamente se for colocando os próximos dígitos dessa extensão decimal vai chegar um momento que o período da dízima vai aparecer ?

Então, como resposta posso dizer que os números não são iguais e que 0,1234567 é apenas uma aproximação com 7 casas decimais ?
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Decimais finitos ou infinitos periódicos Empty Re: Decimais finitos ou infinitos periódicos

Mensagem por ivomilton em Sex 21 Ago 2015, 16:42

@lorramrj escreveu:Olá galera, tenho uma dúvida:
Aprendi que frações irredutíveis sendo equivalente a uma fração decimal gera uma expansão decimal finita.

Também, que uma fração irredutível é equivalente a uma fração decimal quando seu denominador não tem fatores primos diferentes de 2 e 5.

Já frações irredutíveis que apresentam no denominador números primos diferentes de 2 e 5, tem como expansão decimal uma dízima periódica infinita.

Portanto, dividindo-se dois inteiros quaisquer, a representação decimal obtida é sempre finita ou infinita, mas periódica.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Porém, uma questão me pergunta se os números 0,1234567 e 16909/136963 são iguais:

Pelo meu raciocínio - segundo a teoria - esse denominador com certeza apresenta fatores primos diferentes de 2 e 5, portanto, sua expansão decimal vai ser uma infinita periódica.

Mas testando isso na calculadora com precisão de 15 casas decimais obtive como resultado dessa divisão:

16909/136963 = 0,123456699984667

Minha dúvida é o seguinte:

A calculadora apresentou apenas a parte da dízima infinita, então, certamente se for colocando os próximos dígitos dessa extensão decimal vai chegar um momento que o período da dízima vai aparecer ?

Então, como resposta posso dizer que os números não são iguais e que 0,1234567 é apenas uma aproximação com 7 casas decimais ?
Boa tarde,

Sim, exatamente, pois a dízima periódica simples resultante de 16909/136963 poderá ter muitas casas decimais; em geral esse número de casas decimais poderá ser um dos divisores de 136962:
1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126, 1087, 2174, 3261, 6522, 7609, 9783, 15218, 19566, 22827, 45654, 68481, 136962.

Como no visor da calculadora científica do Windows XP estão visíveis 31 decimais, esse número poderá ser:
42, 63, 126, 1087, 2174, 3261, 6522, 7609, 9783, 15218, 19566, 22827, 45654, 68481, 136962.

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Clique no link a seguir e coloque 16909 no primeiro espaço em branco (numerador) e
136963 no segundo (denominador). Observe no rodapé da página o Resultado: essa dízima periódica possui 68481 dígitos, e é informado o começo e o fim da dízima.

http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fractions/FractionsCalc.html



Um abraço.
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