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Mensagem por juni127 em Ter 11 Ago 2015, 22:31

Determine os comprimentos dos lados do retângulo de área máxima, com lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse da equação 2x²+y²=1.

Resposta::
1 e 21/2
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Mensagem por Elcioschin em Qua 12 Ago 2015, 19:35

2x² + y² = 1 ---> x²/(1/2) + y²/1 = 1

a² = 1/2 ---> a = √2/2 ---> Eixo x
b² = 1 ---> b = 1 ---> Eixo y

y² = 1 - x² ---> y = √(1 - 2x²) ---> y = (1 - 2x²)1/2

Desenhe a elipse

Desenhe um retângulo dentro da elipse e seja um dos vértices P(x, y) = P.[x, +(1 - x²)1/2

Os lados do triângulo são: 2x e 2.(1 - x²)1/2

S = 2x.2.(1 - x²)1/2  ---> S = 4.x.(1 - x²)1/2

Derivando ---> S' = 4x.{(1/2). (-4x)/√(1 - 2x²)] + 4.√(1 - 2x²)

S' = 0 ---> 8.x²/√(1 - 2x²) = 4.√(1 - 2x²) = 0 ---> 2x² = 1 - 2x² ---> x = √2/2

Um dos lados é 2x = √2 = 21/2

Calcule o outro lado
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