[Escola Naval] Gráfico da trajetória

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Resolvido [Escola Naval] Gráfico da trajetória

Mensagem por mari.lp em Qua 22 Jul 2015, 15:15

Considere uma partícula se movimentando no plano xy. As coordenadas x e y da posição da particula em função do tempo são dadas por x(t)=-2t^2 +2t +1  e  y(t)=t^2 -t +2, com x  e  y  em metros e t em segundos. Das opções abaixo, assinale a que pode representar o gráfico da trajetória da particula de t=0 a t=4s.

GAB: B

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Resolvido Re: [Escola Naval] Gráfico da trajetória

Mensagem por Mimetist em Qua 22 Jul 2015, 15:34

Considere os instantes fornecidos no enunciado e as respectivas coordenadas de posição em função do tempo. Temos:
\begin{cases}x(t)=-2t^2+2t+1 \\ y(t)=t^2-t+2 \end{cases} \ \ \rightarrow \ \ y(t)=-\frac{x(t)}{2}+\frac{5}{2}

Assim:

\boxed{\text{Alternativa (b)}}
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Resolvido Re: [Escola Naval] Gráfico da trajetória

Mensagem por mari.lp em Qua 22 Jul 2015, 15:49

Como você chegou em [Escola Naval] Gráfico da trajetória 2aht8bs  

Eu aprendi a resolver questões assim, isolando t em x(t) e substituindo em y(t), mas como x(t) é do segundo grau eu não consegui isolar.

@Euclides: Não entendi, o seu gráfico não se parece com a alternativa B

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Resolvido Re: [Escola Naval] Gráfico da trajetória

Mensagem por Mimetist em Qua 22 Jul 2015, 16:09

Multiplique y(t) por dois, some com x(t) e obterá essa expressão.
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Resolvido Re: [Escola Naval] Gráfico da trajetória

Mensagem por _TNY_ em Qua 22 Jul 2015, 16:25

mari.lp você pode multiplicar a equação y(t) por dois e somar com a de x(t).
Ficaria: 2y(t)=2t^2 -2t +4  
             x(t)= -2t^2 +2t +1

Somando as duas você teria: 2y(t) +x(t) = 5

y(t) = -x(t)/2  +5/2 ----> trata-se de uma função do primeiro grau. y=ax +b, mas como a é negativo (-1/2) a reta é decrescente, e o coeficiente linear (onde a reta corta o eixo da ordenadas (y) ) é 5/2.
A alternativa B descreve exatamente isso.
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Resolvido Re: [Escola Naval] Gráfico da trajetória

Mensagem por mari.lp em Qua 22 Jul 2015, 16:47

@_TNY_ escreveu:mari.lp você pode multiplicar a equação y(t) por dois e somar com a de x(t).
Ficaria: 2y(t)=2t^2 -2t +4  
             x(t)= -2t^2 +2t +1

Somando as duas você teria: 2y(t) +x(t) = 5

y(t) = -x(t)/2  +5/2 ----> trata-se de uma função do primeiro grau. y=ax +b, mas como a é negativo (-1/2) a reta é decrescente, e o coeficiente linear (onde a reta corta o eixo da ordenadas (y) ) é 5/2.
A alternativa B descreve exatamente isso.

Perfeita explicação, muito obrigada!

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Resolvido Re: [Escola Naval] Gráfico da trajetória

Mensagem por Victória Tavares em Sex 19 Jul 2019, 23:57

Olá! Sei que este tópico já está respondido, mas me surgiu uma dúvida.

Como ter essa "sacada" de multiplicar a equação y(t) por dois e somar com a equação x(t)? Em que assunto/matéria essa ferramenta se baseia? 

Alguém pode me ajudar? Obrigada
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Resolvido Re: [Escola Naval] Gráfico da trajetória

Mensagem por Giovana Martins em Sab 20 Jul 2019, 01:10

"Como ter essa "sacada" de multiplicar a equação y(t) por dois e somar com a equação x(t)?"

Por mais clichê que pareça esta resposta, isso você só vai conseguir fazendo exercícios e assim você vai pegando experiência. Conforme você faz os exercícios, isso se torna algo natural. Por exemplo, se você ver outro exercício semelhante a este, agora que você viu a resolução, você tentará propor saídas semelhantes a essa.

O nome dessa matéria é "parametrização de curvas". Muitas vezes, o nosso objetivo nessas questões é eliminar o parâmetro "t" para no final descobrirmos qual é a curva estabelecida após a remoção do parâmetro. Um exemplo mais simples: a equação paramétrica da circunferência de centro (a,b) é dada por x=a+rcos(t) e y=b+rsen(t), com 0 ≤ t ≤ 2π. Caso você não soubesse qual é a curva descrita por esta parametrização, no geral, para descobrirmos isso devemos eliminar o parâmetro "t".

\\x=a+rcos(t)\to x-a=rcos(t)\to (x-a)^2=r^2cos^2(t)\\\\y=b+rsen(t)\to y-b=rsen(t)\to (y-b)=r^2sen^2(t)\\\\(x-a)^2+(y-b)^2=r^2[sen^2(t)+cos^2(t)]\to (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

A ideia aqui era fazer surgir a identidade fundamental trigonométrica sen²(t)+cos²(t)=1, que assim eliminaríamos facilmente o parâmetro "t" e descobriríamos que a curva é uma circunferência de centro (a,b) e raio r.

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Resolvido Re: [Escola Naval] Gráfico da trajetória

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