Um hospital dispõe de 7 médicos e 4 enfermeir

por OliviaTate Seg 13 Jul 2015, 10:16

Um hospital dispõe de 7 médicos e 4 enfermeiros. De quantas formas é possível organizar um plantão com 5 profissionais com pelo menos um enfermeiro no plantão?

Eu pensei da seguinte forma: Se deve haver 1 enfermeiro, me sobre 7 médicos + 3 enfermeiros para preencher um grupo de 4 pessoas.
C = 10! / (4!6!) => C = (10*9*8*7)/(4*3*2*1) => C = 210
Por que meu pensamento está errado?

Gabrito: 441

por **Jader** Seg 13 Jul 2015, 12:22

CUIDADO: No enunciado ele diz que a equipe tem que conter PELO MENOS UM ENFERMEIRO, portanto tem que analisar quando se tem a equipe com 1 ou mais enfermeiros.

Assim, como ele quer formar equipes com pelo menos 1 enfermeiro, então temos 4 casos a analisar:

i) Com um único enfermeiro na equipe:

$C_{4}^{1}.C_{7}^{4}=\frac{4!}{1!3!}.\frac{7!}{4!3!}=\frac{7.6.5.4}{3.2.1}=140$

ii) Com 2 enfermeiros na equipe:

$C_{4}^{2}.C_{7}^{3}=\frac{4!}{2!2!}.\frac{7!}{3!4!}=\frac{7.6.5.4}{4}=210$

iii) Com 3 enfermeiros na equipe:

$C_{4}^{3}.C_{7}^{2}=\frac{4!}{3!1!}.\frac{7!}{2!5!}=\frac{7.6.5.4}{5.2}=84$

iv) Com os 4 enfermeiros na equipe:

$C_{4}^{4}.C_{7}^{1}=\frac{4!}{4!0!}.\frac{7!}{1!6!}=\frac{7}{1}=7$

Logo, o total de possibilidades para formar essa equipe será:

$140+210+84+7=441$