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Valor dos depósitos

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Mensagem por Pietro di Bernadone Qui 14 Out 2010, 23:05

Um cidadão efetuou 100 depósitos mensais iguais num fundo de investimentos que rende 12% ao ano, com capitalização mensal. Do montante poupado, ele efetuou saques de R$2.000,00 por mês durante 100 meses, sendo o primeiro
um mês após o último depósito. No último saque, ele zerou o saldo de sua conta. Qual o valor dos depósitos?

Resposta:R$ 739,42

Certo de sua atenção,

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Valor dos depósitos Empty Re: Valor dos depósitos

Mensagem por ivomilton Qui 21 Out 2010, 18:49

Pietro di Bernadone escreveu:Um cidadão efetuou 100 depósitos mensais iguais num fundo de investimentos que rende 12% ao ano, com capitalização mensal. Do montante poupado, ele efetuou saques de R$2.000,00 por mês durante 100 meses, sendo o primeiro
um mês após o último depósito. No último saque, ele zerou o saldo de sua conta. Qual o valor dos depósitos?

Resposta:R$ 739,42

Certo de sua atenção,
Pietro

Boa tarde!

Observemos que o tempo total pelo qual o dinheiro ficará aplicado até consumir-se totalmente através das 100 retiradas, será igual a: 100 + 100 = 200 meses.

Primeiramente calcularemos o montante que os 100 depósitos produzirão até o final desses 200 meses.

A seguir, calcularemos o montante que as 100 retiradas mensais de R$ 2.000,00 cada alcançaria se aplicadas mensalmente à mesma taxa.

X*(1,01^199 + 1,01^198 + ... + 1,01^100) = 2000*(1,01^99 + 1,01^98 + ... + 1,01^1 + 1,01^0)

Colocando os expoentes das potências em ordem crescente, fica:
X = 2000*(1 + 1,01 + 1,02 + ... + 1,01^99)/(1,01^100 + 1,01^101 + ... + 1,01^199)

Os conteúdos entre parênteses são 2 PG’s; chamando de S1 a 1ª e de S2 a 2ª, vem:

S = a1*(q^n – 1)/(q – 1)

Soma dos termos da primeira PG:
a1 = 1
q = 1,01
n = 100

S1 = 1*(1,01^100 – 1)/(1,01 – 1
S1 = 1,704814/0,01
S1 = 170,4814

Soma dos termos da segunda PG:
a1= 1,01^100
q = 1,01
n = 100

S2 = 1,01^100*(1,01^100 – 1)/(q – 1)
S2 = 2,704814*1,704814/(1,01 – 1)
S2 = 4,611204/0,01
S2 = 461,1204

X = 2000*S1/S2
X = 2000*170,4814/461,1204
X = 340962,77/461,1204
X = R$ 739,42





Um abraço.

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