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UECE- Equações trigonométricas

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Mensagem por Hermógenes lima Dom 28 Jun 2015, 23:35

(UECE) Resolva a equação tg²x + sen²x = 3cos²x no intervalo [0, 2π]. A soma de todas suas raízes nesse intervalo é igual a: a) 4π 
b) 3π 
c) 2π 
d)π 


OBS: Não tenho o gabarito
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UECE- Equações trigonométricas Empty Re: UECE- Equações trigonométricas

Mensagem por Mimetist Seg 29 Jun 2015, 00:52

\Big(\frac{sin(x)}{cos(x)}\Big)^2+sin^2(x)=3cos^2(x) \iff sin^2(x)(1+cos^2(x))=3cos^4(x)

1-cos^4(x)=3cos^4(x) \iff 4cos^4(x)=1 \iff cos(x)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}

Assim, as soluções são:

x=\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4};\frac{7\pi}{4}

E sua soma é :

S=4\pi \rightarrow \boxed{\text{Alternativa (a)}}
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UECE- Equações trigonométricas Empty Re: UECE- Equações trigonométricas

Mensagem por Hermógenes lima Qua 01 Jul 2015, 13:25

Mimetist escreveu:
\Big(\frac{sin(x)}{cos(x)}\Big)^2+sin^2(x)=3cos^2(x) \iff sin^2(x)(1+cos^2(x))=3cos^4(x)

1-cos^4(x)=3cos^4(x) \iff 4cos^4(x)=1 \iff cos(x)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}

Assim, as soluções são:

x=\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4};\frac{7\pi}{4}

E sua soma é :

S=4\pi \rightarrow \boxed{\text{Alternativa (a)}}
Não entendi como você chegou a isso: sin^2(x)(1+cos^2(x))=3cos^4(x), daria pra explicar mais detalhadamente?
Muito obrigado!!
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Mensagem por Elcioschin Qua 01 Jul 2015, 13:41

Faça você as contas, multiplicando tudo por cos²x
Depois coloque sen²x em evidência, no 1º membro
E lembre-se que sen²x = 1 - cos²x
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UECE- Equações trigonométricas Empty Re: UECE- Equações trigonométricas

Mensagem por Hermógenes lima Qui 02 Jul 2015, 10:07

Elcioschin escreveu:Faça você as contas, multiplicando tudo por cos²x
Depois coloque sen²x em evidência, no 1º membro
E lembre-se que sen²x = 1 - cos²x
Consegui. Valeu!!
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