Colégio Naval 1997 - racionalizar?

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Mensagem por Armando Vieira em Qua 03 Jun 2015, 20:56

(CN/1997) O valor de:
Colégio Naval 1997 - racionalizar? 0zXRlPwyZgAAAABJRU5ErkJggg==
Gabarito: Letra E

Até onde cheguei:
Chamei: (√2 + √3 + √2) = X
Substituí:
[3 (x + 2)] / 2[(x+1)² - 1] - 1/x =
(3x + 6)/2[x² + 2x + 1 -1] - 1/x =
(3x + 6)/(2x² + 4x) - 1/x =
3(x+ 2)/2x(x + 2) - 1/x =
3/2x - 1/x =
(3 - 2)/2x =
1/2x
Pergunta: acertei até aí?
Se acertei, como eu racionalizo essa expressão:
1/2x = 1/2(√2 + √3 + √2) Question Question Question
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Mensagem por PedroCunha em Qua 03 Jun 2015, 21:36

Olá, Armando.

Sua ideia foi boa; farei uso de um produto notável para chegar no mesmo resultado e ao final, mostrarei como racionalizar a expressão.

\\ \frac{3 \cdot (\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt5 + 2)}{2 \cdot \left[ (\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt5 + 1)^2 - 1] \right]} - \frac{1}{\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt5} \therefore \\\\ \frac{3}{2} \cdot \frac{(\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt5 + 2)}{(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5 + 2) \cdot (\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt5)} - \frac{1}{\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt5} \therefore \\\\ \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt5} - \frac{1}{\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt5}  

Agora vem a parte chata:

\\ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(\sqrt2 + \sqrt3) + \sqrt5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(\sqrt2+\sqrt3) - \sqrt5}{\left[ (\sqrt2+\sqrt3) + \sqrt5) \right] \cdot \left[ (\sqrt2+\sqrt3) - \sqrt5 \right] } \therefore \\\\ \frac{1}{2} \cdot \frac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{2+2\sqrt6 + 3 - 5} \therefore \frac{1}{4} \cdot \frac{\left[(\sqrt2+\sqrt3) - \sqrt5\right] \cdot \sqrt6}{\sqrt 6 \cdot \sqrt 6} \\\\ \therefore \frac{\sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{30}}{24} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ \frac{2\sqrt3 + 3\sqrt2 - \sqrt{30}}{24} }}

O gabarito correto é alternativa b .

Att.,
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Mensagem por Armando Vieira em Qui 04 Jun 2015, 12:06

Muito obrigado Pedro!!!
Very Happy Very Happy Very Happy Very Happy
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