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Como calcular a área de uma região irregular?

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Como calcular a área de uma região irregular? Empty Como calcular a área de uma região irregular?

Mensagem por calculus Dom 31 maio 2015, 13:42

Não sou da área, mas a matemática sempre desperta minha curiosidade. Daqui a 5, 10 anos, tenho certeza que ainda terei vontade de aprender coisas novas através do ângulo das ciências exatas.

Durante o colégio aprendi várias fórmulas para calcular formas geométricas, mas daí navegando pelo google maps me surgiu essa curiosidade. Como calcular uma área totalmente irregular com várias linhas sinuosas? Gostaria muito de aprender. Obrigado

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Como calcular a área de uma região irregular? Empty Re: Como calcular a área de uma região irregular?

Mensagem por PedroX Dom 31 maio 2015, 16:41

Quando temos um gráfico de uma função, é possível calcular a Integral, obtendo assim a área abaixo da curva.

Por exemplo:

Função y=x².
Integral: x³/3 (aqui você usa o Cálculo)

Num intervalo de 0 a 1 teríamos a seguinte área:

(1³/3) - (0³/3) = 1/3 u.a. (unidades de área)

No entanto, quando não há uma função diretamente relacionada, temos que:

- Achar uma função que tenha o gráfico parecido com a figura.

ou

- Dividir a figura em várias formas geométricas. Por exemplo, retângulos e triângulos.

Na figura que você mostrou, não é possível que exista uma função que represente aquele contorno. Isso porque uma reta vertical tocaria dois pontos do contorno, e isso impossibilita que haja uma função.

Manualmente, poderíamos fazer algo assim:
Como calcular a área de uma região irregular? Sem_t_tulo

Pelo computador seria mais fácil. Programas conseguem preencher quase que a imagem toda e calcular a área com muita precisão.
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Como calcular a área de uma região irregular? Empty Re: Como calcular a área de uma região irregular?

Mensagem por Medeiros Dom 31 maio 2015, 16:59

Há o complicador de que a superfície terrestre é uma esfera (polêmicas, fora), contudo a escala desse mapa que você usou para exemplo é pequena e podemos considerar livre da interferência da esfericidade da Terra, portanto, área plana.

Para estes casos, tenho uma malandragem que dispensa matemática e computadores mas requer uma balança de precisão e aritmética.

Numa folha de papel, decalque a área desejada, chamo-mo-la S1. Decalque também um quadradinho da escala do mapa referente a 1km², será S2.
Recorte as duas áreas decalcadas e pese-as separadamente. A área desejada, em km², será o quociente dos pesos S1/S2.
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Como calcular a área de uma região irregular? Empty Re: Como calcular a área de uma região irregular?

Mensagem por Euclides Dom 31 maio 2015, 17:10

Medeiros escreveu:Para estes casos, tenho uma malandragem que dispensa matemática e computadores mas requer uma balança de precisão e aritmética. 

Numa folha de papel, decalque a área desejada, chamo-mo-la S1. Decalque também um quadradinho da escala do mapa referente a 1km², será S2. 
Recorte as duas áreas decalcadas e pese-as separadamente. A área desejada, em km², será o quociente dos pesos S1/S2.

Acredite: eu já fiz isso (profissionalmente) usando a balança de precisão do laboratório de controle de qualidade. Tratava-se de uma área (em mapa) extremamente irregular, cujo contorno preciso eu havia levantado topograficamente.

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Como calcular a área de uma região irregular? Empty Re: Como calcular a área de uma região irregular?

Mensagem por Medeiros Dom 31 maio 2015, 18:54

Grande testemunho, Euclides. Obrigado.
Eu também já fiz algo parecido mas experimentalmente, controlado (para comparação com o real) nos tempos de faculdade, e usei balança de 12 dígitos de grama após a vírgula. Na ocasião, se bem me lembro, o erro percentual foi inferior a 6%. E o foi tão grande por dois motivos principais: não me esmerei no recorte da área; e usei um quadradinho de referência muito menor do que a área a ser medida.
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Como calcular a área de uma região irregular? Empty Re: Como calcular a área de uma região irregular?

Mensagem por Euclides Dom 31 maio 2015, 21:20

Eu me lembro do problema de precisão. A gramatura do papel precisa ser estabelecida com a melhor precisão possível e lembro-me de ter usado três quadrados de tamanhos diferentes (em balança de alta precisão) e tomado a gramatura média para o cálculo.

Lembrei-me agora de outro instrumento que usei muito: o planímetro. Trata-se de um inteligente equipamento que, com o uso de engrenagens, faz a leitura (integração) da área percorrida pelo visor. A outra haste é fixa no papel

Como calcular a área de uma região irregular? Image001
planímetro analógico, como o que usei. Abaixo um moderno e digital

Como calcular a área de uma região irregular? Planimetro

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Como calcular a área de uma região irregular? Empty Re: Como calcular a área de uma região irregular?

Mensagem por Ashitaka Dom 31 maio 2015, 22:46

Sinto uma certa nostalgia lendo o que dizem e dá até gosto de ver Smile
Por que agora não usa mais, Euclides? E se 6% era um erro grande, quanto era o esperado?
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Como calcular a área de uma região irregular? Empty Re: Como calcular a área de uma região irregular?

Mensagem por Euclides Dom 31 maio 2015, 23:11

Ashitaka escreveu:Sinto uma certa nostalgia lendo o que dizem e dá até gosto de ver Smile
Por que agora não usa mais, Euclides? E se 6% era um erro grande, quanto era o esperado?
Vocês também terão seus problemas profissionais e também darão soluções criativas a eles e um dia contarão num fórum, talvez...

Ocupei-me diretamente desses problemas enquanto fui geólogo de campo. Posteriormente, à medida em que ocupava posições gerenciais, os desafios passaram a ser outros e outras pessoas passaram a cuidar deles.

Quanto ao erro, isso depende de três coisas:

1- das exigências reclamadas pelo próprio trabalho
2- das restrições práticas que se enfrentam
3- dos custos envolvidos em melhorar a precisão

existem métodos estatísticos que podem ser usados a fim de estabelecer uma relação entre a precisão requerida e o grau de confiança que se vai depositar nos resultados obtidos. Ao avaliar jazidas com minérios de teores altos e relativamente de pequena variabilidade eu geralmente trabalhei com duas etapas:

1- preliminar: com 20% de erro e confiança de 90%

se esses resultados indicassem viabilidade econômica, podia-se investir mais com menor risco

2- detalhamento: 5% de erro e confiança de 95%

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