Inequação

Para 0 < a ≠ 1, resolva: |a^2x + a^x+2 -1| ≥ 1.

condição do problema ->  a >0

como está em módulo podemos ter 
a^2x + a^(x+2) -1 ≥ 1.    (I)
a^2x + a^(x+2) -1 ≤ -1     (II)

vou começar pelo II que parece mais fácil
a^2x + a^(x+2)   ≤ 0
(a^x)(a^x) + (a^x)(a^2)  ≤ 0 
(a^x)(a^x +a^2)  ≤ 0
não importa o valor de x, como a sempre será positivo esse produto nunca será  ≤ 0 . 
Não há solução

estou correto? inequação modular não é meu forte 

Pior que essa é inequação modular exponencial paramétrica. Só não escrevi tudo isso no título pra não espantar o pessoal que fosse tentar hahaha. A hora que eu postei isso já não estava mais sóbrio nem pra fazer 1+1. Agora que acordei já não parece tão difiícil assim. Vou dar uma olhada e lá pela tarde dou uma resposta.

Encontrei x ≥ log_a[[-a²+√(a⁴+8))/2].

 Muito complicado 

Você conseguiu resolver ou pegou o gabarito? não consigo nem pensar em como resolver essa questão 

Eu resolvi, não tenho gabarito. Quando postei, jurei ter visto um expoente x no módulo (estava com muito sono), mas sem ele a questão fica bem simples. Existem paramétricas infinitamente piores; posso te passar algumas se quiser hahaha

Começando como fez:
a^2x + a^(x+2) -1 ≥ 1
a^2x + a^(x+2) -1 ≤ -1 ---> sem solução;

Sendo a^x = y
y² + a²y - 2 ≥ 0
y ≥ (-a² + √(a^4 + 8))/2
2^x ≥ (-a² + √(a^4 + 8))/2
x ≥ log_a[[-a²+√(a⁴+8))/2]

y ≤ (-a² - √(a^4 + 8))/2 < 0 ---> impossível.

Importante notar que √(a^4 + 8) ≥ a² para todo a real; só por isso foi possível chegar naquela solução.

Para ser sincero nunca tinha ouvido falar dessas inequações paramétricas, mas se essa é simples..... 
Depois vou dar uma procurada  a respeito delas:D

Sugiro que comece com as equações, que são mais simples, se tiver a oportunidade.