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CN - Geometria - 96

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Mensagem por Fabinho snow Sex 29 maio 2015, 20:44

CN) Considere a firua abaixo, o triângulo ABC d elados AB=8, AC = 10 e BC = 12 e seja H o seu ortocentro. As retas que passam por A e H, B E H. C e H intersectam o círculo circunscrito ao triângulo nos pontos F,E,D respectivamente. A área do hexágono de vértices AD.B.F.C e E é igual a:
a)30v7
b)18v7
c)80
d)70
e)65

GABA:

Minha tentativa: Primeiramente olhei para o simétrico do ortocentro no círcuncírculo e vi também que as diagonais são perpendiculares, o que acontece em BHCF, BHAD, AHCF, portanto bastaria fazer D.d/2 em cada um e somar. As projeções que a altura forma no triângulo ABC podem ser descobertas fazendo pitágoras e relacionando os dois triângulos retângulos, o que já vai dar um trabalho, porém dá para achar, agora, o que nos falta é o simétrico do ortocentro, fazendo umas contas eu achei algumas igualdades entre alguns lados, apesar de ser possível fazer relações com esses lados iguais a conta ficaria absurda, nesse sentido, quem tiver uma visão de fato mais apurada que a minha e pudesse posta-la agradeceria...

Fabinho snow
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Mensagem por Fabinho snow Sex 29 maio 2015, 20:44

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Mensagem por Medeiros Sáb 30 maio 2015, 02:48

Fabinho,
em primeiro lugar, o ortocentro é o encontro das mediatrizes dos lados mas seu triângulo é escaleno, portanto essas mediatrizes NÃO passam pelos vértices opostos -- vide desenho (esboço) que fiz.

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Como você mesmo percebeu, ocorrem a formação de quadriláteros cujas diagonais são os lados do triângulo ABC. Perceba que dobrando-se estes quadriláteros sobre essas diagonais, sobrepomos integralmente o triângulo ABC; portanto a área do hexágono será 2 vezes a área do triângulo. A área do triângulo, dado seus lados, pode ser calculada por Bhramagupta (acho que é este o nome).

perímetro ------------> p = 8 + 10 + 12 = 30
semiperímetro ----> s = p/2 = 15

SABC = √(s(s-Cool(s-10)(s-12)) = 15√7

Shexágono = 2.SABC = 30√7
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Mensagem por Fabinho snow Sáb 30 maio 2015, 08:10

Mestre, de fato, circuncentro é mediatriz e ortocentro é altura, tem alguma exceção disto que torna o ortocentro o ponto de encontro das medianas?

Sumário do FDME (geometria plana)

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Mensagem por Medeiros Sáb 30 maio 2015, 12:55

Obrigado, Fabinho. Viajei na maionese, vi a circunferência circunscrita e fui logo pensando nas mediatrizes, que nada têm a ver com o ortocentro -- tremenda mancada. Sendo a altura, fica ainda mais fácil perceber as sobreposições de que falei; a resolução continua a mesma.

Quanto a sua pergunta, a exceção é o triângulo equilátero, onde medianas, mediatrizes, alturas e bissetrizes se confundem. No triângulo isósceles essa coincidência ocorre apenas em relação à base.

A propósito, não sou mestre de coisa nenhuma, sou apenas um entusiasta e seu colega de fórum.
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Mensagem por Fabinho snow Qui 04 Jun 2015, 18:19

Nada kkkkkk, você, Raimundo e vários outros, com seus conhecimentos, estão sendo muito importantes no meu estudo de matemática pro cn, mas um obrigado u pouco atrasado.

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