Polinômios

por MariaH123 Qui 28 maio 2015, 18:46

Alguém poderia me explicar, por favor, como posso provar que, se dois polinômios têm as mesmas raízes, com exceção de uma raiz apenas, sendo que essa é oposta nos dois polinômios, então os dois polinômios somados devem ter uma raiz nula.
Por exemplo: p(x) e q(x):
Raízes: p1=q1
p2=q2
....
mas Pn= -Qn

Então p(x) + q(x) tem uma raiz nula. Por quê?

por **Carlos Adir** Qui 28 maio 2015, 19:05

$\\ \mathrm{p(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)} \\ \mathrm{q(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x+x_n)} \\ \mathrm{p(x)+q(x)=\left(x-x_1 \right )(x-x_2)\cdots(x-x_n)+\left(x-x_1 \right )\left(x-x_2 \right )\cdots(x+x_n)} \\ \mathrm{p(x)+q(x)=\left(x-x_1 \right )\left(x-x_2 \right )\cdots (x-x_{n-1})\left[ (x-{\color{Red} x_n})+(x+{\color{Red} x_n}) \right ]} \\ \mathrm{p(x)+q(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{n-1})\left[2x \right ]}$

Logo, uma raiz é nula.

O "oposta" foi de fundamental importância para isto.

por MariaH123 Qui 28 maio 2015, 19:19

Muito obrigada Carlos Adir!
Com a sua demonstração a explicação ficou clara para mim!
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