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distância entre pontos

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distância entre pontos Empty distância entre pontos

Mensagem por Monstro do Pântano Sáb 23 maio 2015, 10:53

O gráfico abaixo mostra o segmento de reta AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A até B (3, 0). O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados é variável e tem valor máximo igual a 4,5.O comprimento do segmento AB corresponde a:

distância entre pontos Jo68
O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados é variável e tem valor máximo igual a 4,5. O comprimento do segmento AB corresponde a:

(A) 5
(B) 6
(C) 3 V5
(D) 6 V2

Resposta: C




Dá para resolver essa questão por semelhanças de triângulos?
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distância entre pontos Empty Re: distância entre pontos

Mensagem por Carlos Adir Sáb 23 maio 2015, 11:05

Acho que não pois os triângulos sempre serão semelhantes, e não vejo nenhuma maneira de relacionar máximos e mínimos através de triângulos.
Mas uma solução que vejo é por desigualdade das médias:

____________________________________________
← → ↛ ↔️ ⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
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distância entre pontos Empty Re: distância entre pontos

Mensagem por Monstro do Pântano Sáb 23 maio 2015, 12:09

Quando ele diz que o produto atinge o valor máximo ele quer dizer o quê?
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distância entre pontos Empty Re: distância entre pontos

Mensagem por Carlos Adir Sáb 23 maio 2015, 13:09

Interpretei a questão erroneamente, desculpe-me.
Considerei que os pontos A e B se moviam.

Então temos os pontos A e B fixos.
A reta que passa por AB não é dificil de determinar:
y = -(a/b) x + a
Portanto, podemos dizer que se C está na reta, então satisfaz a seguinte condição:
q = -(a/b).p + a
E então seu produto vira:
pq = p[-(a/b)p + a]
pq = -(a/b)p² + ap
Temos que é uma equação de segundo grau. O seu máximo será 4,5, logo:

____________________________________________
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∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
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distância entre pontos Empty Re: distância entre pontos

Mensagem por Monstro do Pântano Sáb 23 maio 2015, 13:36

Po não entendi como você chegou nessa na parte da equação do segundo grau não. Você tem algum video ou site pra me recomendar pra eu estudar essa matéria?
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distância entre pontos Empty Re: distância entre pontos

Mensagem por Carlos Adir Sáb 23 maio 2015, 14:04

1°) Com a imagem peguei a equação da reta AB

2°) Com a equação da reta, eu posso descrever um y em função de x.
Como o ponto C está na reta, então eu posso descrever o q(y do ponto C) em função de p, o que fiz acima

3°) Após ter um em função do outro, multipliquei ambos os lados por p, pois eu queria o produto pq. Obtendo assim uma equação de segundo grau.

4°) Por parte das funções, o máximo de uma função de segundo grau será no vertíce, e pode ser calculado como -Delta/4a. Deste modo, achei o máximo da função, que no caso foi ab/4.

5°) O enunciado disse que o máximo era 4,5, e então eu igualei a 4,5 o máximo achado.

6°) Após ter achado ab=18, e o ponto B é descrito como (3,0), então b=3, e consequentemente a=6.

7°) Achado os valores de a e de b, podemos descobrir o valor do segmento AB por pitágoras.

"Brinque" um pouquinho com a questão:
Questão
Isto ajuda a visualização sobre a resolução. Mecha o ponto C e veja como o produto muda.


Material eu não tenho muito sobre, mas muita gente recomenda Iezzi.
Estuda a parte de funções, geometria analítica fica mais fácil se você sabe funções.

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