determine os autovetores

Determine os autovetores da transformação linear T(x,y)=(x+y,x−y).

Vamos encontrar a matriz dessa transformação, para calcular os autovalores e assim encontrar os autovetores.

Aplicando na base canônica e escrevendo como combinação linear dos mesmos, temos:

T(1,0) = (1,1)  = 1(1,0) + 1(0,1)
T(0,1) = (1,-1) = 1(1,0) + (-1)(0,1) 

Logo a matriz de T é M = | 1  1| 
                                     | 1 -1|

Encontrando os autovalores: Basta encontrar as raízes do polinômio característico, ou seja:
p(λ) = det(M - λI), onde I é a matriz identidade de ordem dois e det é o determinante. Logo p(λ) = λ^2 - 2 = 0 ⇔
λ1 = √2    ou   λ2 = -√2. Por último, para encontrar os autovetores, basta ver o núcleo de T com relação
aos autovalores encontrados, ou seja, resolvendo (M - (λ1)I)x = 0 e (M - (λ2)I)y = 0 , obtemos como solução:
x = | b + b√2| e y = |d - d√2| onde b e d são números reais quaisquer diferente de zero.
      | b          |          |d         |

Portanto, um autovetor associado a λ1  é v1 = (1 + 1√2 , 1) e associado a λ2 é v2 = (1 - √2 , 1).

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